Visualizza wikitesto di Concetti fondamentali di fisica quantistica

{{W}}
{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Meccanica quantistica}}

==Concetti fondamentali==
=== Funzione d'onda ===
Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una '''funzione d'onda''' (a valori complessi) <math> \Psi (q, t) </math>. Il quadrato del modulo <math>|\Psi|^2 = \bar{\Psi} \Psi</math> di tale funzione (dove <math>\bar{\Psi}</math> oppure <math>{\Psi^*}</math> indica il complesso coniugato) viene interpretato come probabilità del sistema all'istante <math>t</math> di coordinate <math>q</math> .

=== Autovalori e autofunzioni ===
Consideriamo una grandezza fisica <math>f</math> caratteristica di un sistema quantistico. Gli '''autovalori''' della grandezza <math>f</math> sono i valori <math>f_n</math> che la grandezza può assumere, e le '''autofunzioni''' <math>\Psi_n</math> sono le funzioni d'onda degli stati in cui <math>f=f_n</math>.

=== Operatori ===
Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza <math>f</math> sono determinati dall'equazione
:<math>\hat f\Psi=f \Psi</math>
dove <math>\hat f</math> è l''''operatore''' associato alla grandezza.

Il valore medio di <math>f</math>, nello stato descritto dalla funzione d'onda
<math>\Psi</math>, è
:<math><f>=\int \Psi^*\hat f\Psi\, dq</math>

=== Spettro discreto ===
Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza <math>f</math> con uno spettro discreto:
:<math>\Psi=\sum a_n \Psi_n \qquad     a_n=\int \Psi_n^*\Psi\, dq</math>

=== Spettro continuo ===
Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza <math>f</math> con uno spettro continuo:
:<math>\Psi(q)=\int a_f \Psi_f(q)\,df \qquad     a_f=\int \Psi_f^*(q)\Psi(q)\, dq</math>

=== Operatore impulso ===
Operatore associato all'impulso (quantità di moto) di una particella:
:<math>\hat \mathbf{p}=-i\hbar \nabla</math>
Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:
:<math>[\hat{p}_i,x_j]=-i\hbar \delta_{ij}</math>

Relazioni di indeterminazione:
:<math>\Delta p_i \Delta x_i \sim \hbar</math>
Il valore minimo dell'indeterminazione è <math>\hbar/2</math>, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

=== Operatore hamiltoniano ===
Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:
:<math>\hat \mathcal{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}</math>

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i '''livelli energetici''' <math>\mathcal{E}_n</math>. A questi valori corrispondono gli '''stati stazionari''' del sistema.
Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:
:<math>\Psi_n(q,t)=\exp
\left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{E}_n t\right)\psi_n(q)</math>

Lo '''stato fondamentale''' corrisponde al valore minimo <math>\mathcal{E}_0</math> dell'energia che il sistema può assumere.

A un '''livello degenere''' corrispondono diversi stati stazionari.
Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

=== Matrici ===
Gli elementi di matrice di una grandezza <math>f</math>
sono definiti dallo sviluppo delle funzioni <math>\hat f \psi_n</math>
sul sistema ortonormale <math>\left\{ \psi_n \right\}</math> costituito dalle autofunzioni dell'energia:
:<math>f_{mn}=\int \psi_m^* \hat{f}\psi_n\,dq</math>
Gli elementi diagonali <math>f_{nn}</math> sono i valori medi della grandezza 
<math>f</math> negli stati <math>\psi_n</math>

Elementi di matrice dipendenti dal tempo: 
:<math>f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega_{mn}t}, \qquad
\omega_{mn}= \frac{\mathcal{E} _m-\mathcal{E} _n}{\hbar}</math>