Visualizza wikitesto di Esercitazione 1 (analisi matematica)

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==Operazioni elementari con i numeri complessi==
'''''Esercizio 1'''''
Dati i numeri <math>z_1,z_2\in\mathbb{C}</math>: con <math>z_1=1+i,z_2= 5+3i\,\!</math> valutare:

'''(1)''' <math>z_1+z_2\,\!</math>

'''(2)''' <math>z_1 z_2\,\!</math>

'''(3)''' <math>z_1\bar{z_2}</math>

'''Soluzione'''

'''(1)''' Ricordiamo ora la regola che ci permette di valutare la somma tra due numeri complessi:
:<math>z_1=\Re{(z_1)}+i\Im{(z_1)}</math> e <math>z_2=\Re{(z_2)}+i \Im{(z_2)}</math> allora:

:<math>z_1+z_2 = \Re{(z_1)}+\Re{(z_2)}+ i(\Im{(z_1)}+\Im{(z_2)})</math>

Nel nostro facile esempio abbiamo che:
:<math>\Re{(z_1)}=1, \Im{(z_1)}=1</math> mentre <math>\Re{(z_2)}=5, \Im{(z_2)}=3</math> dunque:

:<math>z_1+z_2=  \Re{(z_1)}+\Re{(z_2)}+ i(\Im{(z_1)}+\Im{(z_2)})= 1+5+i(1+3)= 6+4i</math>

'''(2)''' Ricordiamo che per valutare il prodotto di due numeri complessi si procede come segue.

Poniamo per semplicità notazionale:

:<math>x_1=\Re{(z_1)}</math> e <math>y_1=\Im{(z_1)}</math> mentre <math>x_2=\Re{(z_2)}</math> e <math>y_2=\Im{(z_2)}</math>.

Quindi:

:<math>z_1z_2= (x_1+y_1 i)(x_2+y_2 i)= x_1(x_2+y_2 i)+y_1 i(x_2+y_2 i)= x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2 i^2\,\!</math>.

Ora <math>i^2=-1</math> quindi l'espressione precedente diventa:

:<math>x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2 i^2= x_1x_2-y_1y_2+ (x_1y_2+x_2y_1)i\,\!</math>

Passiamo ora al calcolo effettivo. Nel nostro caso specifico abbiamo che

:<math>x_1= \Re{(z_1)}=1, y_1=\Im{(z_1)}</math> mentre <math>x_2=\Re{(z_2)}=5, y_2=\Im{(z_2)}=3</math> di conseguenza:

:<math>z_1z_2=(1+i)(5+3i)=(5+3i)+i(5+3i)=5+3i+5i-3 = 2+8i\,\!</math>

'''(3)''' In questo caso nel prodotto interviene il coniugato di <math>z_2</math>, è quindi necessario valutarlo.
Dato un numero <math>z=x+yi\in\mathbb{C}</math>, si definisce numero complesso coniugato di <math>z</math>, denotato con <math>\bar{z}</math>:

:<math>\bar{z}:=x-yi</math>

In pratica abbiamo semplicemente cambiato il segno alla parte immaginaria di <math>z</math>. Utilizziamo questa definizione per valutare il coniugato di <math>z_2</math>:

:<math>\bar{z_2}=5-3i</math>:

pertanto:

:<math>z_1\bar{z_2}=(1+i)(5-3i)=(5-3i)+i(5-3i)= 5-3i+5i+3=8+2i</math>

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'''''Esercizio 2'''''

Determinare per quali valori reali  <math>x,y\,\!</math>  si ha che <math>4x+3xi+9y+4yi=13+7i\,\!</math>

'''''Soluzione'''''
È necessario esprimere diversamente il primo membro in modo da evidenziare la parte reale e la parte immaginaria:

:<math>4x+3xi+9y+4yi=(4x+9y)+(3x+4y)i= 13+7i\,\!</math>.

Osserviamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia la stessa parte reale che quella immaginaria. Ragionando in questo modo otteniamo un sistema di due equazioni e in due incognite:

:<math>\left\{\begin{matrix}4x+9y=13\\ 3x+4y=7\end{matrix}\right.</math>

Possiamo risolverlo per sostituzione, dalla prima equazione <math>x=\frac{13-9y}{4}</math> sotituiamo il valore ottenuto nella seconda equazione ottenendo:

:<math>3\frac{13-9y}{4}+4y=7\Rightarrow \frac{39-27y+16y}{4}=\frac{28}{4}</math>

facendo i conti otteniamo che:

:<math>-11y=-11\Rightarrow y=1</math></div>

adesso facciamo una sostituzione all'indietro:

:<math>x=\frac{13-9y}{4}</math>,

ma <math>y=1</math> dunque <math>x=\frac{13-9}{4}=1</math>

Pertanto i valori che soddisfano l'equazione sono: 
:<math>x=1, y=1\,\!</math>