Visualizza wikitesto di Esercizi sulla Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)

{{risorsa|tipo=quiz|materia1=Fisica per le superiori 1|avanzamento=100%}}

I seguenti esercizi riguardano la [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)|Dinamica dei sistemi di punti materiali]] studiata nella Lezione 5 di Meccanica. 

== Esercizi ==
===1. Treno ===
Un treno è composto di una motrice e da tre vagoni, ed ha, inizialmente, una accelerazione <math>a_o\ </math>. Supponiamo che la motrice ed i vagoni abbiano ognuno massa <math>M\ </math>. Determinare: a) la forza motrice  <math>F_M\ </math> della motrice, b) la forza <math>f_1\ </math> che esercita la motrice sul I vagone, c) la forza <math>f_3\ </math> che esercita il II vagone sul III.

(dati del problema <math>a_o=0.5\ m/s^2</math>, <math>M=2\cdot 10^4 kg</math>)


<span class="noprint">[[#1. Treno_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===2. Manubrio ===
Un manubrio è costituito da due masse uguali collegate da una sbarretta di massa
trascurabile di lunghezza <math>2d\ </math>: supponiamo che inizialmente esso ruoti liberamente
intorno ad un asse ortogonale al centro della sbarretta con velocità angolare
<math>\omega_i\ </math>. Se in virtù di forze interne le due masse vengono avvicinate in maniera da
distare alla fine solo <math>d/2\ </math> dal centro dell'asse di rotazione.

Determinare:  La velocità angolare finale del sistema ed il lavoro fatto dalle forze interne.

(dati del problema <math>\omega_i=20\ rad/s\ </math>, <math>d=0.5\ m</math>, <math>m=2\ kg</math>)


<span class="noprint">[[#2. Manubrio_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===3. Blocchi con molla ===
Su un piano orizzontale sono posti due blocchi di masse <math>M_1\ </math> ed <math>M_2\ </math> rispettivamente. Tra i due blocchi, inizialmente fermi, è sistemata una molla, di massa trascurabile,  mantenuta compressa con un corto filo di collegamento tra i blocchi. Ad un certo istante il filo viene tagliato ed i due blocchi vengono messi in movimento dalla molla. 
Si osserva che la  velocità acquistata dalla massa <math>M_1\ </math> è <math>v_1\ </math>.

Determinare l'energia elastica della molla nella configurazione iniziale.

(dati del problema <math>M_1=2\ kg</math>, <math>M_2=3\ kg</math>, <math>v_1=0.5\ m/s</math>, si trascuri l'attrito del piano)


<span class="noprint">[[#3. Blocchi_con_molla_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

===4. Due masse appese===
[[File:Es6p3.png|thumb|100px|Due masse appese ad un piolo liscio]]
Su un piolo liscio (senza attrito) scorre un filo flessibile inestensibile e di massa 
trascurabile che collega due masse <math>m_1\ </math> ed <math>m_2\ </math>. Le masse sono inizialmente 
ferme trattenute alla stessa quota, si mettono in moto sotto l'azione della forza peso. 
Calcolare l'accelerazione del centro di massa e la forza esercitata dal piolo (filo+ masse).

(dati del problema <math>m_1=2\ kg\ </math>, <math>m_2=4\ kg\ </math>)

<span class="noprint">[[#4. Due_masse_appese_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

===5. Giostra===
Una giostra è costituita da due seggiolini di massa <math>m=90\ kg</math> 
(compresi gli occupanti) sospesi a due funi di lunghezza <math>l=3\ m</math>.  Il sistema, assimilabile a un pendolo conico con due masse, è inizialmente posto in rotazione con velocità angolare <math>\omega_1\ </math> attorno ad un asse verticale sul quale sono ancorate le funi che si dispongono su un piano contenente la verticale ad angoli 
<math>\theta_1=45^\circ\ </math> sui lati opposti. 

a) Determinare la tensione <math>T\ </math> della fune nella configurazione iniziale e il momento angolare totale del sistema.
b) Supponendo che i due occupanti, esercitando forze interne per esempio utilizzando una fune, riescano ad avvicinarsi 
riducendo l'angolo delle funi di sospensione al valore <math>\theta_2=30^\circ\ </math>, calcolare la velocità dei seggiolini. 
c) Determinare il lavoro fatto dalle forze interne per passare 
dallo stato a) allo stato b).

<span class="noprint">[[#5. Giostra_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

== Soluzioni ==

===1. Treno ===
<span class="noprint">[[#1. Treno|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Il sistema ha un solo grado di libertà, per cui ogni grandezza cinematica o dinamica, può esprimersi come uno scalare nella direzione del moto. Le equazioni del moto sono:

<math>F_M-f_1=Ma_o\ </math>

<math>f_1-f_2=Ma_o\ </math>

<math>f_2-f_3=Ma_o\ </math>

<math>f_3=Ma_o\ </math>

Sommandole:

<math>F_M=4Ma_o=40\ kN</math>

<math>f_1=F_M-Ma_o=30\ kN</math>

<math>f_3=Ma_o=10\ kN</math>

 
===2. Manubrio ===
<span class="noprint">[[#2. Manubrio|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Dovendosi conservare il momento della quantità di moto:

<math>2dm\omega_id=2\frac d2m\omega_f\frac d2\ </math>

<math>\omega_f=4\omega_i=80\ rad/s</math>

L'energia cinetica iniziale vale:

<math>E_i=m\omega_i^2d^2\ </math>

<math>E_f=m\omega_f^2\frac {d^2}{4}=4E_i\ </math>

Quindi l'energia cinetica aumenta di:

<math>E_f-E_i=3E_i=600\ J</math>

L'aumento di energia cinetica è dovuto alle sole forze interne.

 
===3. Blocchi con molla ===
<span class="noprint">[[#3. Blocchi_con_molla|&rarr; Vai alla traccia]]</span>


Le forze che agiscono sono solo interne quindi essendo nulla la quantità di moto iniziale:

<math>M_2v_2+M_1v_1=0\ </math>

<math>v_2=-\frac {M_1}{M_2}v_1=-0.33\ m/s</math>

Che è anche l'energia cinetica della massa 2 quindi l'energia cinetica vale:

<math>E_k=\frac 12 M_1v_1^2+\frac 12 M_2v_2^2=0.42\ J</math>

che coincide con l'energia elastica della molla.

===4. Due masse appese ===
<span class="noprint">[[#4. Due_masse_appese|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Scelto <math>z\ </math> diretto verso l'alto:
:<math>m_2 a_2=-m_2g+T_1\ </math>
:<math>m_1 a_1=-m_1g+T_1\ </math>
Ma essendo il filo inestensibile <math>a_1=-a_2\ </math> quindi:
:<math>m_2 a_2=-m_2g+T_1\ </math>
:<math>-m_1 a_2=-m_1g+T_1\ </math>
che sottratte:
:<math>(m_1+m_2)a_2=(m_1-m_2)g\ </math>
:<math>a_2=g\frac {m_1-m_2}{m_1+m_2}=-3.3\ m/s^2\ </math>
Quindi l'accelerazione del centro di massa delle due masse vale:
:<math>a_{cm}=\frac {m_1a_1+m_2a_2}{m_1+m_2}=-g\frac {(m_1-m_2)^2}{(m_1+m_2)^2}=-1.1\ m/s^2\ </math>
Quindi applicando la I equazione cardinale della meccanica si ha che:
:<math>F_t-m_1g-m_2g=(m_1+m_2)a_{cm}\ </math>
:<math>F_t=(m_1+m_2)(g+a_{cm})=52\ N</math>

===5. Giostra===
<span class="noprint">[[#5. Giostra|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

a)
Inizialmente per ognuna delle due masse posso scrivere, nella direzione verticale (asse <math>z\ </math>):
:<math>T\cos \theta_1=mg\ </math>
quindi:
:<math>T=1247\ N\ </math>
La componente della tensione del filo lungo la direzione orizzontale è inizialmente la sola
forza centripeta, del moto rotatorio con raggio:
:<math>r_1=l\sin \theta_1=2.12\ m\ </math>
Quindi:
:<math>m\frac {v_1^2}{r_1}=T\sin \theta_1\ </math>
:<math>v_1=\sqrt {\frac {Tr_1\sin \theta_1}m}=4.6\ {\rm m/s}\ </math>
Quindi:
:<math>\vec L=m\vec {r_1}\times \vec {v_1}+m\vec {r_2}\times \vec {v_2}=2mr_1v_1\vec k\ </math>
:<math>|\vec L|=1.74\cdot 10^3\ {\rm kg\,m}^2{\rm s}^{-1}\ </math>

b) 

Poiché agiscono solo forze interne, <math>\vec L\ </math> si conserva e poiché nella condizione finale la direzione rimane la stessa, si deve avere che:
:<math>2ml\sin \theta_1v_1=2ml\sin \theta_2 v_2\ </math>
:<math>v_2=v_1\frac {\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=6.4\ {\rm m/s}\ </math>

c)

L'Energia meccanica iniziale vale:
:<math>E_o=mv_1^2+2mgl(1-\cos \theta_1)\ </math>
mentre quella finale vale:
:<math>E_f=mv_2^2+2mgl(1-\cos \theta_2)\ </math>
La differenza:
:<math>E_f-E_o=m[v_2^2-v_1^2+2gl(\cos \theta_1-\cos \theta_2)]=1030\ {\rm J}\ </math>
è positiva e rappresenta l'energia acquistata dal sistema a spese delle forze interne.

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