Visualizza wikitesto di Esercizio sul codice di Hamming 7 4

{{Risorsa|tipo=esercitazione|materia1=Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori}}
{{Matematica voce|Esempio|Codice di Hamming|Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.

Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo <math>P_\epsilon(b)=10^{-3}</math>.

Si suppone un canale binario simmetrico indipendente. }}

Siccome il canale è indipendente, ogni singolo bit è indipendente dall'altro, cioè possiamo usare le prove bernoulliane.

Lo spazio campione è

: <math>\Omega = \{0,1\}</math>

dove <math>0</math> indica che non c'è stato errore, <math>1</math> indica che c'è stato un errore. Si ha

<math>F = \{\varnothing, \{1\}, \{0\}, \{0,1\}\}</math>

e si hanno:

* <math>P(0) = 1-10^{-3}</math>
* <math>P(1) = 10^{-3}</math>

Una parola è errata quando ci sono almeno due errori. L'evento errore è

* <math> C = \text{ sbaglio almeno 2 bit sulla parola } = \{ (c_1, c_2, \cdots, c_7) \} \in \hat{F} \text{ t.c. } \sum_i c_i \ge 2</math>

mentre l'evento successo è

* <math>\bar{C} = \{ (c_1,c_2, \cdots, c_7) \} \in \hat{F} \text{ t.c. } \sum_i c_i < 2</math>

Sappiamo che

: <math>P_n(k) = \binom{n}{k} p^kq^{n-k}</math>

quindi

: <math>P(C) = \sum_{k=2^7}P_7(k) = \sum_{k=2}^7\binom{7}{k} p^k q^{7-k}</math>

il che vuol dire che la somma delle probabilità che ci siano <math>k=2,3,4,5,6,7</math> errori è la probabilità totale. Vale

: <math>P(C) = 1-P(\bar{C}) = 1 - \binom{7}{0}p^0 \cdot q^7 - \binom{7}{1}p^1 \cdot q^6</math>

Se la parola non fosse codificata, allora l'unica probabilità di avere la parola giusta sarebbe la totale assenza di errori.

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