Visualizza wikitesto di Esistenza del limite di una successione reale

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===Successioni monotone===
Sia <math>(a_n)</math> una successione reale tale che <div align="center"><math>a_n \leq a_{n+1},\ \ \forall n \in \mathbb{N}</math></div>

Una successione siffatta si dice '''monotona crescente'''. <br />Se <math>a_n < a_{n+1}</math> si dice '''monotona <span style="text-decoration: underline">strettamente</span> crescente'''

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:
* <math>a_n \geq a_{n+1}</math> si dice monotona decrescente;
* <math>a_n > a_{n+1}</math> si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo <math>(a_n)\uparrow</math> o  <math>(a_n)\downarrow</math> per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

====Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)====
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>(a_n)</math> una successione monotona. Allora <math>(a_n)</math> ammette limite e <br /><br />
(i) <math>a_n \uparrow \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n</math><br /><br />
(ii) <math>a_n \downarrow \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} a_n</math>
}}

=====Dimostrazione=====
(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di <math>\mathbb{R}</math>, sappiamo che esiste <math>\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R}</math>. Sia <math>\lambda=\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n</math>.

Allora
<div align="center"><math>a_n \leq \lambda,\ \forall n \in \mathbb{N}</math><br /> <math> \Downarrow</math> <br />
<math>\forall \varepsilon >0, a_n < \lambda + \varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N}</math> <br /> <math> \Downarrow</math> <br />
<math>\forall \varepsilon >0, a_n - \lambda < \varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N}</math></div>

Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,
<div align="center"><math>\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : a_n + \varepsilon > \lambda,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m </math><br /><math> \Downarrow</math> <br />
<math>\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : a_n - \lambda > -\varepsilon ,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m </math>
</div>
e siccome la successione è crescente, <math>a_n \geq a_m,\ \forall n > m</math> e quindi <math>\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : a_n - \lambda \geq a_m - \lambda > - \varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m</math>.<br /> Dunque abbiamo verificato che:
<div align="center"><math>\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : |a_n - \lambda| < \varepsilon ,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m</math></div>
Ossia la tesi.

2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè <math>\sup_{n \in \mathbb{N}}a_n = +\infty</math>. Analogamente a prima, abbiamo che <math>\forall k \in \mathbb{R}\ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_m > k</math>.

Sempre per la monotonia di <math>a_n</math>, sappiamo che <math>a_n \geq a_m,\ \forall n>m</math> anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque
<div align="center"><math>\forall k \in \mathbb{R}\ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n > k,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m</math></div>
Dunque la successione è divergente e <div align="center"><math>\lim_{n\to \infty}a_n=\sup_{n\in \mathbb{N}}a_n = +\infty</math></div>

(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità. {{endproof}}

{{cassetto|titolo=Esempio (il numero di Nepero)|testo= (esercizio su nepero)
}}

====Teorema (di Bolzano-Weiestrass) ====
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.
}}
=====Dimostrazione=====
<!-- 
Se <math>a_n</math> è una successione limitata, allora esistono gli estremi inferiore e superiore <math>m' \leq a_n \leq m'',\ \forall n\in \mathbb{N}</math>. Poniamo inoltre <math>y_n = \sup \{a_k\ :\ k \geq n\},\ \forall n \in \mathbb{N}</math> e abbiamo
<div align="center"><math>m'\leq y_n \leq m'',\ \forall n \in \mathbb{N}</math></div>

Inoltre, per la definizione degli <math>y_i</math> abbiamo che <math>y_n \geq y_{n+1}</math>. Dunque <math>(y_n)</math> è una successione monotona decrescente per il teorema di esistenza del limite per le successioni monotone si ha:
<div align="center"><math>\exists \lambda \in \mathbb{R}\ :\ \lim_{n\to \infty}y_n=\lambda=\inf_{n\in \mathbb{N}}y_n</math>.</div>

Ora, poiché <math>y_k</math> è monotona decrescente, <math>\lambda \leq y_k</math> e <math>\lambda - \varepsilon < y_k</math>, per ogni <math>k \in \mathbb{N}</math>. 
-->

{{todo|problemi con la dimostrazione poco chiara}}