Visualizza wikitesto di Forme lineari delle equazioni di portata per il sonar

{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Principi, sistemi e metodologie per la localizzazione subacquea passiva
| avanzamento = 100%
}}
Le forme lineari delle equazioni di portata consentono una più facile interpretazione dei legami tra le variabili che sono coinvolte nei calcoli specifici, al contrario delle analoghe di tipo logaritmo<ref>Le forme logaritmiche esprimono le grandezza in decibel con il vantaggio di sviluppare tutte le formule in somme e/o sottrazioni ma non consentono alle formule stesse di essere perspicue.</ref> normalmente impiegate per le stime delle [[Portata di scoperta del sonar|portate di scoperta del sonar.]]

== Il sistema logaritmico per il calcolo della portata di un sonar passivo ==

L'espressione logaritmica per il calcolo della portata di scoperta è mostrata nel sistema:

<math>\begin{cases} TL = 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R\\
TL = SL + DI - NL - DT + 20 \cdot \log_{10}{ \sqrt{BW} }
\end{cases}</math>

dove:

'''nella prima equazione''':

<math>TL = </math> [[Propagazione del suono in mare|attenuazione dovuta al percorso del segnale in mare]], espressa in decibel, dipendente dalla distanza  <math>R</math> espressa in <math> km  </math> e  dal [[Propagazione del suono in mare|coefficiente d'assorbimento]] {{big|testo= <math>\alpha</math> }} espresso in <math> dB  / km</math>.

'''nella seconda equazione:'''

<math>TL = </math> attenuazione massima accettabile, funzione delle caratteristiche del sonar, espressa in decibel, dipendente da:

*<math>BW = </math> banda delle frequenze di ricezione del sonar in <math>Hz</math>.
*<math> SL = </math> [[rumore delle navi|rumore "spettrale" irradiato dal bersaglio]] in <math> dB/ \mu Pa / \sqrt{Hz} / 1 \ m</math>.
*<math>NL = </math>rumore "spettrale" del mare in <math>dB/ \mu Pa</math>  <math>/ \sqrt{Hz}</math>. 
*<math>DI =</math> guadagno di direttività della [[Direttività della base idrofonica conforme del sottomarino Sauro|base idrofonica ricevente]] in <math>dB</math>.
*<math>DT =</math> [[Differenziale di riconoscimento del sonar|soglia di rivelazione]] in correlazione in <math> dB </math> a sua volta dipendente da:
**<math>d</math> = parametro probabilistico<ref>Questa variabile rende il calcolo della portata non deterministico</ref>
**<math>BW</math> = banda del ricevitore 
**<math>RC</math> = [[Processo d'integrazione numerica nel sonar FALCON|costante d'integrazione del rivelatore]]

==Esplicitazione in termini lineari della prima equazione del sistema==

L'equazione relativa all'attenuazione del suono durante la sua propagazione in mare, prima equazione del sistema, con <math>R</math> espresso in <math> km </math>, è scritta in forma logaritmica: 
 
<math> TL = 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R </math>

dove tutti gli addendi sono espressi in decibel.

La formula discende da una serie di rapporti tra grandezze lineari che assumono sigle simili alle logaritmiche ma a caratteri diversi per distinguerle da quest'ultime.

Il primo rapporto tra grandezze è relativo al calcolo dell'intensità  acustica di emissione <math> Ie_{{Rm}}</math> (misurata alla distanza di <math>R </math> metri dal semovente che la genera) che, nella propagazione ideale del suono per divergenza sferica, è data da:

<math> Ie_{{Rm}} = \left( \frac{Wac}{4 \cdot \pi \cdot R^2} \right)</math>

La formula mostra come l'intensità acustica <math> Ie_{{Rm}} </math>  emessa dal semovente, dipendente dalla potenza acustica <math> Wac </math>, si espanda secondo superfici sferiche attenuandosi secondo il quadrato della distanza <math> R </math>.

L'espressione di <math> Ie_{{Rm}} </math> per <math> R = 1 \ m </math> è data da:

<math> Ie_{{1m}} = \left( \frac{Wac}{4 \cdot \pi} \right)</math>

Il valore dell'intensità, rilevato ad <math>1 \ m</math> dal semovente, è detto Livello della Sorgente<ref>Il livello della sorgente espresso in unità logaritmiche è indicato, nei calcoli di portata dei sonar passivi, con la sigla SL (Source Level)</ref>.

L'intensità acustica <math> Ie_{{1m}} </math>, misurata ad 1 metro dal generatore,  si propaga in mare subendo un'attenuazione <math> Att </math> data dal rapporto:

<math> Att = Ie_{{1m}} / Ie_{{Rm}}  </math> = <math>\left [\frac{\left( \frac{Wac}{4 \cdot \pi } \right)}{\left( \frac{Wac}{4 \cdot \pi \cdot R^2 } \right) } \right]</math> = <math> R^2 </math>

L'attenuazione  <math> Att </math>, calcolata secondo il rapporto tra due intensità acustiche, è valida anche per le pressioni acustiche conseguenti.

La trasformazione dell’attenuazione <math>Att </math>,  in termini logaritmici (decibel),  vede il simbolo <math>Att</math> assumere la forma del secondo addendo della prima equazione del sistema:

<math> Att(dB) = \ 10 \cdot \log_{10}{ Att } </math> = <math> \ 10 \cdot \log_{10}{ R^2 } \ </math> = <math>20 \cdot \log_{10}{ R } </math>

La variabile <math>R</math>, espressa in metri in questo contesto, è generalmente indicata in chilometri; in tal caso  <math>Att(dB)</math> si presenta come:

<math> Att(dB) = 20 \cdot \log_{10}{ ( 1000 \cdot R ) } </math> = <math>20 \cdot \log_{10}{1000} + 20 \cdot \log_{10}{ R } </math> = <math> 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } </math>

come nei primi due addendi dell'equazione del <math>TL</math>.

Nella propagazione del suono in mare una seconda causa d'attenuazione, indicata nel terzo addendo dell’equazione, è dovuta all'assorbimento dell'energia acustica da parte del mezzo di trasmissione.

Questa [[Analisi della propagazione del suono per il sonar|attenuazione, funzione della frequenza]], è stata studiata da Thorp e definita dalla formula:

<math> \alpha = \left[ \frac{0.1 \cdot f^2}{1 + f^2} \right] + \left[ \frac{40\cdot f^2}{4100 + f^2} \right]+ \left[ \frac{2.75 \cdot f^2}{10^4} \right]</math>

dove:

<math>\alpha</math> in <math>dB/km</math>

<math>f</math> in <math> kHz </math>

{{big|testo= <math>\alpha</math> }}  è espresso in decibel per ogni chilometro di percorso del suono, ne consegue che il terzo addendo dell'equazione iniziale si presenta in termini logaritmici come il prodotto:   <math>\alpha \cdot R </math>.

==Esplicitazione in termini lineari della seconda equazione del sistema==
L'equazione relativa al margine d'attenuazione <math> TL </math> consentito dal sonar, seconda equazione del sistema, è scritta in forma logaritmica: 
 
<math> TL = SL + DI - NL - DT + 20 \cdot \log_{10}{ \sqrt {BW}} </math>

dove tutti gli addendi sono espressi in decibel.

La formula discende da una serie di prodotti e rapporti tra grandezze lineari che assumono sigle simili alle logaritmiche ma a caratteri diversi per distinguerle da quest'ultime:

<math> tl = \left( \frac{sl \cdot di \cdot \sqrt{bw} }{nl \cdot dt} \right)</math>

dove:

*<math> tl </math> Attenuazione massima accettabile del segnale generato dal bersaglio (espressa come numero puro)
*<math> sl </math> Livello di pressione acustica emesso dal bersaglio  (espresso in <math> \mu Pa/ \sqrt{Hz}</math>)
*<math> di </math> Ampiezza del [[base idrofonica|guadagno della base acustica]] (espressa come numero puro)
*<math> \sqrt{bw} </math> Radice quadrata della banda del ricevitore (espressa come <math>\sqrt{Hz} </math>)
*<math> nl </math>  Livello di pressione acustica dovuto a[[stato del mare|rumore del mar]]e (espresso in <math> \mu Pa/ \sqrt{Hz} </math>)
*<math> dt </math> [[Differenziale di riconoscimento del sonar|Differenziale di riconoscimento]] (espresso in funzione di <math>\sqrt{bw} </math> )

secondo la formula: <math> dt = {\sqrt{d \cdot bw / 2 \cdot RC}}</math>

'''Specificazioni:'''
* 1^ -La grandezza di <math>tl</math> è un numero puro in quanto rapporto tra variabili espresse nelle stesse unità di misura, infatti:

Entrambi i valori della coppia <math> sl/nl </math> sono in <math> \mu Pa/ \sqrt{Hz}</math>

Entrambi i valori della a coppia  <math> \sqrt{bw}/dt </math> sono dipendenti dalla radice quadrata della banda di ricezione del sonar.

*2^ -<math>tl</math> è direttamente proporzionale alle variabili <math>
sl; \sqrt{bw}; di </math>; l'attenuazione massima accettabile <math>tl</math> raddoppia se raddoppia il livello della pressione del segnale emesso dal bersaglio o l'ampiezza della radice quadrata della banda di ricezione, o il guadagno della base ricevente del sonar.

* 3^ -<math>tl</math> è inversamente proporzionale alle variabili <math>
nl; dt </math>; l'attenuazione massima accettabile <math>tl</math> dimezza se raddoppia o il livello del rumore del mare, o il differenziale di riconoscimento del sonar.

Calcolando <math>tl</math> in forma logaritmica, in decibel, abbiamo:

<math> 20 \cdot log_{10}{ (tl) } = 20 \cdot log_{10}{ (sl) } + 20 \cdot log_{10}{ (di) } + 20 \cdot log_{10}{ ({ \sqrt bw)} } - 20 \cdot log_{10}{ (nl) } - 20 \cdot log_{10}{ (dt) }</math>

nominando:
*<math> 20 \cdot log_{10}{ (tl) } = TL </math>
*<math> 20 \cdot log_{10}{ (ls) } = SL </math>
*<math> 20 \cdot log_{10}{ (di) } = DI </math>
*<math> 20 \cdot log_{10}{ (\sqrt {bw}) } =  20 \cdot log_{10}{ (\sqrt {BW}) } </math>
*<math> 20 \cdot log_{10}{ (nl) } = NL </math>
*<math> 20 \cdot log_{10}{ (dt) } = DT </math>

si ottiene l'equazione logaritmica iniziale:<math> TL = SL + DI - NL - DT + 20 \cdot \log_{10}{ \sqrt {BW}} </math>

==Note==
<references/>

==Bibliografia==

*G. Pazienza, Fondamenti della localizzazione marina, La Spezia, Studio grafico Restani, 1970.
*A. De Dominics Rotondi, Principi di elettroacustica subacquea, Elettronica San Giorgio-Elsag S.p.A. Genova, 1990.
*J.W. Horton, Foundamentals of Sonar, United States Naval Institute,Annapolis Maryland, 1959
*{{Cita libro|autore= Del Turco|titolo=''Sonar- Principi - Tecnologie – Applicazioni'' |editore=Tip. Moderna La Spezia|anno=1992|cid=Del Turco}}


[[Categoria:Lezioni di Principi, sistemi e metodologie per la localizzazione subacquea passiva]]