Visualizza wikitesto di La ''verità'' in matematica e nelle scienze (scuola media)

Cosa è la verità? La verità è, forse, quel concetto che nasce dall'astrazione della caratteristica di essere vero.

Storicamente è vero un fatto che accade o è sicuramente accaduto.

Più in generale un avvenimento successo, un essere vivente, una cosa che esiste sono veri.

Forse però questa caratteristica di verità ha significato diverso a seconda della prospettiva attraverso la quale la si giudica.

La verità della religione è ''indiscutibile'', si deve avere fede.

Ma è proprio ''vera'' la proprietà associativa? Esiste? La legge di caduta dei gravi? La bontà di una medicina, o il moto orbitale dei pianeti?

Cosa è la verità per la matematica? E per la scienza?

==La ''verità'' in matematica: coerenza==
Le proprietà e i teoremi matematici acquistano la loro verità sono veri se sono deducibili dagli assiomi. In matematica tutto deve essere ''sostanzialmente'' coerente.
Le ''verità'' matematiche sono coerenti le une rispetto alle altre.
I greci, probabilmente gli ''inventori'', della matematica, da loro trattata soprattutto in termini geometrici, pensavano che gli assiomi ed i postulati fossero ''autoevidenti'', che è un altro modo per dire ''veri'' in senso oggettivo, praticamente religioso.
Poi, ma con molta pazienza, ci si rese conto che i fondamenti della matematica non erano così descrittivi del vero, bensì erano solo convenzioni, che per poter dare vita ad una teoria devono essere tra loro coerenti.

===Le geometrie non Euclidee===
Sul finire del diciannovesimo secolo la ''scoperta'' delle geometrie non euclidee fece definitivamente tramontare l'idea che gli assiomi fossero ''autoevidenti'' e quindi veri nel mondo ''reale'', ed anche sulla ''realtà'' del mondo... 

La verità matematica diventa per forza di cose sinonimo di coerenza con gli assiomi, di dimostrabilità attraverso dei passaggi logici, la matematica diventa un po' più ''meccanica'', cosa che che col tempo ha permesso di avere a disposizione la logica necessaria per costruire i computer.
I ''mondi'' descritti dalle geometrie non euclidee, per quanto paradossali, sono evidentemente reali tanto quanto quello della geometria euclidea. Ad esempio il fatto che nella geometria ellittica la somma degli angoli interni di un triangolo diminuisce al crescere del raggio della sfera sulla quale è ''disegnato''<ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_ellittica Wikipedia - Geometria ellittica]</ref>. In quel modello, in altre parole, la somma degli angoli interni del triangolo diminuisce al crescere della dimensione del triangolo.

Per quanto ''reali'' possano essere i modelli algebrici o geometrici la ''verità'' matematica non ebbe più scampo e trovò rifugio sicuro nella coerenza e nella dimostrabilità.

===La coerenza ''controintuitiva(?)===
====Il paradosso del barbiere====
E' coerente l'esistenza del barbiere che rade tutti gli uomini che non radono se stessi?
Si?
E chi lo rade?
Si rade da solo e allora non può radersi.
Lo rade un collega e allora deve radersi.
Cosa non va?

====Gli insiemi infiniti====
E' facile dare una definizione di un insieme infinito?
Sembra assurdo ma è più facile che quella di un insieme finito, e quindi di numero.
Un insieme ha infiniti elementi se è in corrispondenza biunivoca coin una sua parte propria.
Come si fa?
Facile ''contiamo'' i numeri pari:
*2 è il primo numero pari
*4 è il secondo numero pari
*6 è il terzo
*20 è il decimo 
*...e così via
Ogni numero pari ha una sua posizione nell'ordine dei numeri pari. Ci sarà l'ennesimo numero pari? Si, e quanti posti ci sono nell'ordine dei numeri pari, tanti quanti sono tutti i numeri naturali, e quindi i numeri pari sono tanti quanti i numeri.
Ma i numeri pari sono anche un ''sottoinsieme proprio'' di tutti i numeri.
Quindi l'insieme di tutti i numeri è infinito, ed anche l'insieme dei numeri pari.

Un insieme ha un numero finito di elementi se non ne ha un numero infinito, adesso è facile. 
====Il numero delle frazioni====
[[File:Diagonal argument.svg|destra|400px|Diagonal argument]]
Tra <math>0</math> e <math>1</math> c'è <math>\frac{1}{2}</math>, ma tra <math>0</math> e <math>\frac{1}{2}</math> c'è <math>\frac{1}{4}</math> e tra <math>0</math> e <math>\frac{1}{4}</math> c'è <math>\frac{1}{8}</math>, e così via...
Tra <math>0</math> e <math>1</math> ci sono infinite frazioni, e così tra due qualsiasi numeri, o due qualsiasi frazioni ci sono infinite frazioni.
Ma si possono contare le frazioni? Non sono troppe?
Il ''metodo diagonale'' di Cantor ci risolve il problema, le frazioni si possono contare!
Che cosa strana.
{{-}}

===L'assiomatizzazione e il positivismo===
Il processo di ''definitiva'' assiomatizzazione delle principali branche della matematica si svolse tra la seconda metà dell'800 e i primi del '900. L'analisi, l'insiemistica, l'aritmetica, la stessa geometria euclidea insieme a quelle non euclidee. L'entusiasmo faceva pensare alla possibilità di fondare in maniera definitiva la matematica. Si accarezzava il sogno di una teoria ''fondante'' coerente, cioè senza contraddizioni, e completa che potesse quindi assegnare ad ogni proposizione il proprio valore di verità o falsità, tutto il pensabile matematico sarebbe stato analizzato e risolto in vero o falso.
Se una teoria non riusciva a risolvere tutto bastava aggiungere un assioma e il problema si sarebbe risolto, e dopo qualche assioma, in numero finito però, avremmo avuto la teoria ''definitiva''.

===Russell, Gödel e la cacciata dal ''paradiso''===
<gallery>
File:Honourable Bertrand Russell.jpg|Bertand Russell
File:Kurt gödel colorized.jpg|Kurt Gödel
File:Ernst Zermelo 1900s.jpg|Ernst Zermelo
</gallery>
L'illusione però durò poco: dapprima la scoperta delle antinomie di Russell diede un grosso scossone alla speranza di ''fondare'' la matematica su verità incontrovertibili e definitive, poi Gödel dimostrò che una teoria di complessità pari all'aritmetica elementare non può essere completa e coerente nello stesso tempo. Se è completa e può dare un valore di verità a tutte le proposizioni che la riguardano prima o poi cadrà in una contraddizione e si rivelerà incoerente, oppure, se è coerente dovrà accontentarsi di non poter spiegare tutto ciò che la riguarda. Fine della storia della ''verità'' assoluta in matematica. 

Stranamente però la matematica funziona molto bene.

==La ''verità'' in fisica con metodo: risultanze sperimentali==
In generale si ritiene che il [https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_scientifico metodo] della ricerca in fisica sia stato per la prima volta sistematizzato da [https://it.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei Galileo Galilei]. 
Il metodo si divide in alcune fasi:
*osservazione
*ipotesi
*esperimento e misure
*conclusioni teoriche

La ''verità'' nelle scienze sperimentali si fonda sulla sperimentabilità la quale rispettando le condizioni dovute deve essere ripetibile, certo in modi alcune volte un po' complicati.

===Gli esperimenti===
La ''verità'' di una teoria scientifica resiste finché gli esperimenti non la confuteranno, la falsificheranno.
Una teoria deve essere quindi falsificabile cioè deve affermare qualcosa che può essere contraddetto, cosa che può avvenire attraverso le misure e la raccolta di dati sperimentali.<ref> [https://it.wikipedia.org/wiki/Karl_Popper Wikipedia - Karl Popper]</ref> 
Fondamentalmente una legge fisica non descrive la ''realtà'' bensì è la migliore spiegazione per le risultanze sperimentali, la scienza in fondo crea modelli, che probabilmente sono molto simili alla ''realtà'', ma non possiamo essere certi che ''siano'' la realtà, che forse è inconoscibile nella sua essenza. 

===Le misure e i loro errori===
Per fare gli esperimenti e per trarre delle conclusioni in base a ciò che avrebbero dovuto falsificare vanno condotte delle misure. Tutte le misure fatte da esseri umani, anche usando macchine, per quanto precise, comprendono degli errori. In tutti gli esperimenti scientifici gli errori vanno messi bene in evidenza ed ovviamente devono essere resi i più piccoli possibile, pur sapendo che non possono essere del tutto eliminati. Deve essere ben chiara anche la loro dimensione, soprattutto relativa alle grandezze in gioco, in linguaggio forse più comprensibile gli errori possono essere espressi in percentuale sulle misure prese. Insomma per condurre bene un esperimento scientifico non solo si deve provare a raggiungere un risultato ma si deve dichiarare anche con quale ''percentuale'' di errore lo si è raggiunto. 

===Heisenberg, velocità della luce ed altre amenità===
Il limite per certe variabili datoci dal [https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg Principio di Heisenberg] e di contralto la possibilità di immaginare velocità illimitate ma impossibili da raggiungere nella ''realtà'' <ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_della_luce wikipedia - Velocità della luce]</ref> limitano la possibilità per l'indagine umana di pensare che le risultanze sperimentali corrispondano alla realtà ''vera''. Il dualismo onda particella, l'orizzonte degli eventi nei buchi neri. Ma l'indagine non si ferma e qualche passo in avanti nello studio dei sistemi complessi è stato fatto.<ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Giorgio_Parisi Wikipedia - Giorgio Parisi]</ref>  


Nonostante questi limiti la cosa un po' bizzarra è che anche la fisica funziona piuttosto bene.

==La ''verità'' in astronomia: prevedibilità==
Vi sono branche della fisica nelle quali fare degli esperimenti è molto molto difficile, ad esempio si pensi alla verifica dell'esistenza del Bosone di Higgs, teorizzato nel 1964 e ''trovato'' nel 2012 al [https://it.wikipedia.org/wiki/CERN CERN]. <ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Bosone_di_Higgs Wikipedia - Bosone di Higgs]</ref>
In astronomia la ripetibilità degli esperimenti non è proprio possibile, o almeno ci deve adattare ai tempi stellari.
Alla ripetibilità degli esperimenti si sostituisce la prevedibilità. Una teoria viene considerata vera se predice i fenomeni e li predice in modo falsificabile, usando delle affermazioni che si possono rivelare false. 
E' piuttosto ovvio che l'astronomia è fondata su teorie che sono di fatto dei modelli che spiegano le osservazioni, nessuno è andato sul sole a verificare di persona come è fatto. ''Vero'' è però che ciò che si osserva si accorda sempre meglio con i modelli proposti. L'analisi dello spettro luminoso delle stelle corrisponde al modello che ne abbiamo, ed è confermata un gran numero di volte, le stelle sono più numerose dei salami Negroni;-).

===Una fake storica: la fusione fredda===
La ''supposta'' possibilità della fusione fredda, se si fosse rivelata vera, avrebbe implicato la revisione del modello che abbiamo della struttura delle stelle. Nel 1989  Martin Fleischmann e Stanley Pons dell'Università dello Utah annunciarono di aver ottenuto la fusione dell'atomo a temperature ordinarie. In genere si pensa che la fusione dell'atomo abbia bisogno di temperature altissime e di grandissime pressioni. L'esperimento di Fleischmann e Pons che venne ripetuto da vari laboratori non ottenne conferme. Purtroppo per qualche tempo però vi fu una corsa mondiale a tentarne la ripetizione causando l'abbandono temporaneo degli esperimenti sulla fusione a caldo, cosa che a sua volta originò perdite di capitali, risorse e ritardi negli esperimenti della fusione a caldo, che meglio si accordava con la teoria. Il fallimento degli esperimenti falsificò la teoria. E pensare che qualcuno in base a questo pseudo-risultato aveva persino cambiato la struttura solare, fantasticando una superficie solare a temperature molto più basse delle migliaia di gradi previsti dai modelli in uso. <ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Fusione_nucleare_fredda Wikipedia - Fusione fredda] </ref>

===Teoria della gravità di Einstein===
[[File:Gravitational lens-full.jpg|upright=1.4|thumb|Schema della curvatura della luce (dovuta all'effetto gravitazionale) prevista dalla teoria di [[Einstein]], la cui validità fu corroborata per la prima volta durante l'eclissi del 1919]]
La teoria della relatività di Einstein che prevede che le masse ''curvino'' la traiettoria della luce viene confermata attraverso l'osservazione della posizione di alcune stelle durante una eclisse solare. La massa del Sole avrebbe deviato i raggi luminosi delle stelle facendole apparire in posizioni diverse da quelle nelle quali erano osservate senza il Sole di mezzo. Le previsioni di Einstein erano chiare ma, ovviamente, si dovettero aspettare le condizioni favorevoli che si presentarono nel 1919. Una eclisse solare permetteva di osservare alcune stelle di posizioni ben note che si sarebbero trovate in posizioni vicine al bordo del sole oscurato. La teoria di Einstein trovò conferma avendo previsto in modo piuttosto preciso lo ''spostamento''. 

{{-}}

===Brevissima storia della gravitazione universale===
La scienza procede per approssimazioni successive:
* gli uomini primitivi, e quelli particolarmente devoti, interpretano il movimento delle stelle e del sole attraverso i miti, il carro di Elio portava il sole, e il suo figliolo [[W:Fetonte|Fetonte]] gli rubò la ''macchina'' senza chiederglielo e fece il ''solito'' incidente, 'sto scriteriato, la storia si ripete sempre uguale [[w:Elio|Elio]]
* alcuni filosofi greci come [[w:Ipparco da Nicea|Ipparco di Nicea]] proposero diversi modelli per il sistema solare 
* [[w:Caludio Tolomeo|Tolomeo]] nel secondo secolo dell'era volgare sistematizzò una prima volta un modello di sistema solare, questo modello col tempo si adattava difficilmente alle nuove osservazioni e per questo vennero complicati in modo ''evidente'' le orbite degli oggetti celesti osservati
* [[w:Keplero|Keplero]], [[w:Copernico|Copernico]], [[w:Galileo|Galileo]] nel 1500 propongono il modello eliocentrico, che ovviamente si adatta molto meglio all'interpretazione delle osservazioni conosciute, ma al tempo ci furono anche altre proposte<ref>[[w:Tycho Brahe]]</ref>
* [[w:Newton|Newton]] descrisse e matematizzò per bene la forza di gravità
* [[w:Einstein|Einstein]] ci spiegò il perché della forza di gravità
* nel 2010 osservammo per la prima volta le [[w:onda gravitazionale|onde gravitazionali]] teorizzate da Einstein

==Le ''verità'' storiche: fonti indipendenti, archeologia==
Lo studio della storia deve decidere se un fatto è avvenuto, se un personaggio è esistito, ma anche quali conseguenze fatti e personaggi hanno determinato nel corso della storia, a quali altri accadimenti sono collegati. 
Questa ricerca deve avvenire vagliando delle fonti, meglio se abbondanti e indipendenti tra loro e cercando di avere conferme archeologiche.

==La ''verità'' in medicina: i dati==
Gli esperimenti per dimostrare che un medicinale cura o in qualche modo agisce con beneficio per i malati di una determinata malattia sono in linea di principio simili a quelli usati per la scienza pura. 
Il corpo umano e il suo funzionamento sono però organismi e fenomeni piuttosto complessi e il modo migliore per affrontare esperimenti che lo riguardano è quello di moltiplicarli per un numero adeguato di casi.
Gli esperimenti, i test, che quindi servono per far si che una determinata sostanza venga dichiarata curativa prevedono dunque che vangano coinvolte un numero di ''cavie'' adeguato. Dalla sperimentazione animale, su animali fisiologicamente simili all'uomo, si passa a quella sui volontari. 
In tutte queste fasi si raccolgono molti dati, si fanno pubblicazioni, i risultati vengono controllati da organismi istituzionali e se tutto va bene vengono dichiarate le proprietà curative del medicinale, che anche in questo caso, comportano margini di incertezza e di rischio che devono essere espressi in modo esplicito e chiaro.

===Esperimenti in doppio cieco===
Per far si che i risultati delle prove necessarie a verificare la bontà di un medicinale gli esperimenti vengono condotti in genere in ''doppio cieco''. I volontari che si sottopongono al test vengono divisi a loro insaputa, e ad insaputa dei medici che somministreranno i medicinali in due gruppi ad uno dei due gruppi verrà somministrato il medicinale all'altro un placebo, un medicinale fasullo. 
Né i volontari che assumono i medicinali, né i medici che glieli somministrano sanno se stanno dando il medicinale o il placebo.
Vengono raccolti i dati sul decorso della malattia e sul funzionamento delle cure e si controlla che le guarigioni, o gli effetti del medicinale, siano più positivi dell' ''effetto placebo'', cioè del miglioramento spontaneo dei sintomi che si presenta in genere tutte le volte che qualcuno viene sottoposto alle attenzioni di un medico curante.
Alla fine si traggono le conclusioni sulla bontà o meno del medicinale.

===Quando le cure funzionano sono ''vere''===
Il funzionamento di un medicinale è sempre legato ad una percentuale, generalmente nessun medicinale funziona al 100%, ed un medicinale è buono più si avvicina a curare tutti cioè a raggiungere il 100%. MA non sono rari i casi di malattie per le quali trovare cure è difficile e quindi si fa ricorso, e si spera, anche a farmaci con percentuali di successo più basse. Nei casi estremi si arriva, comprensibilmente, a curarsi con metodi sperimentali e poso testati, che nel caso poi si rivelassero efficaci diventano ''veri''. Per quanto doloroso e cinico possa sembrare poi spesso siamo portati a giudicare la bontà di un farmaco, e spesso di un medico, dal punto di vista personale, accusandolo di non essere stato capace di portarci nella parte percentuale di coloro che dalla malattia guariscono grazie. Se ad un ammalato viene dato il 30% di possibilità di guarigione difficilmente accetterà, sia lui che i suoi vicini, di rientrare nel 70% di coloro che, purtroppo, non guariranno e addosserà la responsabilità della sua esclusione ad errori medici o a medicinali sbagliati.<ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Bruno_de_Finetti Wikipedia - Bruno De Finetti]</ref>

===...e i vaccini?===
I vaccini in generale ci proteggono dalle aggressioni virali. I virus sono organismi '' parassiti'' che ''vivono'' dentro le cellule degli organismi che attaccano. Questo per capire che curare un'infezione virale implica il fatto di dover '' eliminare'' le cellule malate. Il vaccino stimolando il sistema immunitario impedisce l'insorgere dell'infiammazione e quindi si può più precisamente dire che più che curare previene la malattia, e il diffondersi delle epidemie.
Per giudicare il funzionamento di un vaccino quindi ci vogliono un gran numero di somministrazioni e il tempo di raccogliere dati e giudicare il suo funzionamento.
Nella storia sono numerosi gli esempi di malattie virali sconfitte dai vaccini: il vaiolo, il morbillo, la poliomielite. E non sempre il processo che ha portato a queste vittorie é stato lineare e senza ostacoli, come ad esempio per arrivare al vaccino anti-vaiolo <ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Vaccino_anti-vaiolo Wikipedia Vaccino anti-vaiolo]</ref> o a quello antipolio.<ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Vaccino_anti-poliomielite Wikipedia - Vaccino anti-poliomielite]</ref>
Uno dei migliori ''esperimenti'' per quel che riguarda i vaccini si è ottenuto studiando la storia ''parallela'' delle due Germanie dal 1945 al 1990. Nelle due Germanie la politica vaccinale era diversa, le vaccinazioni erano consigliate all'ovest e obbligatorie all'est. Il risultato è stato che all'est sono scomparse molte malattie virali che all'ovest invece hanno continuato ad esistere.<ref>Il vaccino non è un'opinione, Roberto Burioni</ref>

==La ''verità'' in informatica: calcolabilità==

==La ''verità'' in giurisprudenza: la sentenza==
Nel mondo della giurisprudenza la ''verità'' è sancita dalle sentenze in tribunale.<ref>[https://ilcircolaccio.it/2018/02/18/giustizia-le-notevoli-differenze-tra-il-processo-penale-allitaliana-e-quello-americano-considerato-molto-piu-moderno-e-funzionale/ Processo penale Italiano vs americano]</ref>
Le sentenze in tribunale nella tradizione americana sono proprio i ''mattoni'' sui quali si costruiscono le successive sentenze. La citazione dei casi precedenti, e delle relative decisioni, permette di produrre ulteriori sentenze ''vere'', ed è evidente quanto possano essere lontane dalla ''realtà'' dei fatti. <ref>[https://it.wikipedia.org/wiki/Stare_decisis Wikipedia - Stare decisis]</ref>

Nella giurisprudenza di tradizione europea non sono solo le precedenti sentenze a fare da anelli logici per costruire ulteriori sentenze ''vere'', ma le leggi, il dibattimento, gli indizi, le testimonianze. Insomma un processo più complicato che tende a ricostruire, forse meglio, i fatti e la loro rilevanza rispetto alla legge.

==La ''verità'' sintomatica della religione: la fede==
Tutti i medici sanno che una difficoltà che si aggiunge a quella linguistica nel tentare una diagnosi durante una visita è quella della differenza di percezione dei sintomi a seconda della cultura di provenienza. La descrizione di un dolore provato da un paziente cambia culturalmente oltre che essere espresso in lingue diverse. Questo fatto dovrebbe farci riflettere sulla ''fede''. 

Probabilmente la ''fede'' può essere provata nello stesso modo solo se si proviene dalla stessa cultura, dalla stessa storia, e sotto sotto, solo se si è educati, sin da piccoli ovviamente, a ''sentire'' la ''fede'' nello stesso modo.  Che la ''verità'' religiosa fosse una tautologia, è vera solo perché si crede sia vera, era già chiaro. L'educazione del popolo ed il mantenimento di una cultura religiosa fanno si che non si voglia rendersene conto.

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
<!--*{{cita libro| nome= | cognome= | titolo= | città= | editore= | anno= | ISBN=}}-->
===Storia della filosofia===

*{{cita libro| nome=Luciano | cognome=De Crescenzo | titolo=Storia della filosofia greca - I presocratici | città=Milano | editore=Mondadori | anno=1988 | ISBN=88-04-31390-0}}

*{{cita libro| nome=Luciano | cognome=De Crescenzo | titolo=Storia della filosofia greca - Da Socrate in poi | città=Milano | editore=Mondadori | anno=1986 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Luciano | cognome=De Crescenzo | titolo=Storia della filosofia medievale | città=Milano | editore=Mondadori | anno=2002 | ISBN=EAN 9788804523932}}

*{{cita libro| nome=Luciano | cognome=De Crescenzo | titolo=Storia della filosofia moderna - Da Cusano a Galilei | città=Milano | editore=Mondadori | anno=2003 | ISBN=88-04-51203-2}}

*{{cita libro| nome=Luciano | cognome=De Crescenzo | titolo=Storia della filosofia moderna - Da Cartesio a Kant | città=Milano | editore=Mondadori | anno=2004 | ISBN=88-04-52628-9}}

*{{cita libro| autore1=Corrado Mangione | autore2=Silvio Bozzi | titolo=Storia della logica - Da Boole ai giorni nostri | città= | editore=Garzanti | anno=1993 | ISBN=88-11-59966-0}}

===Scienza===
*{{cita libro| nome=Karl R. | cognome=Popper | titolo=Logica della scoperta scientifica | città=Torino | editore=Einaudi | anno=1970 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Thomas S. | cognome=Kuhn | titolo=La rivoluzione copernicana | città=Torino | editore=Einaudi | anno=1972 | ISBN=88-06-33332-1}}

*{{cita libro| nome=Lucio | cognome=Russo | titolo=La rivoluzione dimenticata | città=Milano | editore=Feltrinelli | anno=2008 | ISBN=978-88-07-81644-4}}

*{{cita libro| nome=Daniel | cognome=Lerner | titolo=Qualità e quantità e altre categorie della scienza | città=Torino | editore=Boringhieri | anno=1971 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Enrico | cognome=Bellone | titolo=Quattro saggi sulla scienza | città=Torino | editore=Codice edizioni | anno=2012 | ISBN=}}

===Matematica===
*{{cita libro| nome=Sheila | cognome= Tobias| titolo= Come vincere la paura della matematica | città=Milano | editore=Longanesi | anno=1998 | ISBN=88-304-1449-2}}

*{{cita libro| nome=Bernard | cognome=Russell| titolo=I principi della matematica | città=Roma | editore=Newton | anno=1971 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Umberto | cognome=Bottazini| titolo=Il flauto di Hilbert | città=Torino | editore=Utet | anno=1990 | ISBN=88-7750-090-5}}

*{{cita libro| nome=Bernard | cognome=Russell| titolo=Introduzione alla filosofia matematica | città=Roma | editore=Newton | anno=1991 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=John L. Casti | cognome=Werner DePauli | titolo=Gödel | città=Milano | editore=Cortina | anno=2001 | ISBN=88-7078-711-7}}

*{{cita libro| nome=Brian | cognome=Butterworth | titolo=Intelligenza matematica | città=Milano | editore=Rizzoli | anno=1999 | ISBN=88-17-86094-8}}

*{{cita libro| nome=Eric T. | cognome=Bell | titolo=La matematica da Paitagora Newton | città=Roma | editore=Editori riuniti | anno=1992 | ISBN=88-359-3631-4}}

*{{cita libro| nome=Lucio | cognome=Lombardo Radice | titolo=I grandi matematici | città=Firenze | editore=Sansoni | anno=1966 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Marcus | cognome=Du Sautoy | titolo=L'equazione da un milione di dollari | città=Milano | editore=Rizzoli | anno=2010 | ISBN=978-88-17-03213-1}}

*{{cita libro| nome=Marcus | cognome=Du Sautoy | titolo=L'enigma dei numeri primi | città=Milano | editore=Rizzoli | anno=2004 | ISBN=88-17-00098-1}}

*{{cita libro| nome=Marcus | cognome=Du Sautoy | titolo=Il disordine perfetto | città=Milano | editore=Rizzoli | anno=2007 | ISBN=978-88-17-01266-9}}

*{{cita libro| nome=Ernest Nagel | cognome=James R. Newman | titolo=La prova di Gödel | città=Torino | editore=Bollati e Boringhieri | anno=1992 | ISBN=88-339-0309-5}}

*{{cita libro| nome=Nikolaj | cognome=Lobacevskij | titolo=Nuovi principi della geometria | città=Torino | editore=Bollati e Boringhieri | anno=1994 | ISBN=88-339-0313-3}}

*{{cita libro| nome=Egmont | cognome=Colerus | titolo=Piccola storia della matematica | città=Milano | editore=Mondadori | anno=1960 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Georges | cognome=Ifrah | titolo=Storia universale dei numeri | città=Milano | editore=Mondadori | anno=1983 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Carl B. | cognome=Boyer | titolo=Storia della matematica | città=Milano | editore=Mondadori | anno=1990 | ISBN=88-04-3341-2}}

*{{cita libro|nome=Piergiorgio|cognome=Odifreddi|titolo=Che cos'è la verità|città=|editore=Castelvecchi|anno=2016|ISBN=EAN 9788869445552}}

*{{cita libro|nome=Piergiorgio|cognome=Odifreddi|titolo=Una via di fuga. Il grande racconto della geometria moderna|città=Milano|editore=Mondadori|anno=2011|ISBN=EAN 9788804613688}}

*{{cita libro|nome=Piergiorgio|cognome=Odifreddi|titolo=Il dio della logica. Vita geniale di Kurt Gödel, matematico della filosofia|città=Milano|editore=Longanesi|anno=2018|ISBN=EAN 9788830423053}}

*{{cita libro|nome=Francesco|cognome=Berto|titolo=Tutti pazzi per Gödel|città=Bari|editore=Laterza|anno=2018|ISBN=978-88-420-8590-4}}

====Matematica ricreativa====

*{{cita libro| nome= Paul| cognome=Lockhart | titolo=Contro l'ora di matematica  | città=Milano | editore=Rizzoli | anno= 2010| ISBN=978-88-17-03840-9}}

*{{cita libro| nome= Anna| cognome=Cerasoli | titolo=Sono il numero 1  | città=Milano | editore=Feltrinelli | anno= 2008| ISBN=978-88-07-92127-8}}

*{{cita libro| nome= Hans M.| cognome=Enzensberger | titolo=Il mago dei numeri  | città=Torino | editore=Einaudi | anno= 1988| ISBN=88-06-15030-8}}

*{{cita libro| nome= Ennio| cognome=Peres | titolo=L'elmo della mente  | città=Milano | editore=Salani | anno= 2007| ISBN=978-88-8451-460-8}}

*{{cita libro| nome= Apolstolos| cognome=Doxiadis | titolo={{w:Zio Petros e la congettura di Goldbach}}  | città= | editore=Bompiani | anno= 1992| ISBN=88-452-4861-5}}

*{{cita libro| nome= Didier| cognome=Norton | titolo=Le ostinazioni di un matematico, ovvero come morire tre volte per la congettura di Goldbach  | città= | editore=Sironi | anno= 2005| ISBN=88-518-0047-2}}

*[https://www.amazon.it/Piergiorgio-Odifreddi/e/B001HCXIVI/ref=dp_byline_cont_pop_ebooks_1 Amazon - Libri di Piergiorgio Odifreddi]

===Fisica===
*{{cita libro| nome=Brian | cognome=Green | titolo=L'universo elegante | città=Torino | editore=Einaudi | anno=2000 | ISBN=88-06-15523-7}}

*{{cita libro| nome=Clement V. | cognome=Durell | titolo=La relatività con le quattro operazioni | città=Torino | editore=Bollati e Boringhieri | anno=1979 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Albert | cognome=Einstein | titolo=Relatività: esposizione divulgativa | città=Torino | editore=Boringhieri | anno=1977 | ISBN=}}

*{{cita libro| nome=Gian Carlo | cognome=Girardi | titolo=Un'occhiata alle carte di dio | città=Milano | editore=Il Saggiatore | anno=2003 | ISBN=EAN 9788817105088}}

*{{cita libro| nome=Palle | cognome=Yourgrau | titolo=Un mondo senza tempo | città=Milano | editore=Il Saggiatore | anno=2006 | ISBN=88-428-0903-9}}

===Medicina===
*{{cita libro| nome=Roberto | cognome=Burioni | titolo=Balle mortali | città=Milano | editore=Rizzoli | anno=2018 | ISBN=EAN 9788817105088}}

*{{cita libro| nome=Roberto | cognome=Burioni | titolo=Il vaccino non è un'opinione | città=Milano | editore=Mondadori | anno=2016 | ISBN=EAN 9788804669838}}

==Collegamenti esterni==
*Potete ottenere una mappa mentale di questa lezione su [http://wiki2map.org Wiki2map]

===Storia della filosofia===
*[https://it.wikipedia.org/wiki/Positivismo Wikipedia - Positivismo]
===Matematica===
*[https://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_non_euclidea Wikipedia - Geometria non euclidea]
*[https://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_iperbolica Wikipedia - Geometria iperbolica]
*[https://it.wikipedia.org/wiki/Congettura_di_Goldbach Wikipedia - Congettura di Goldbach]

===Medicina===
*[https://www.facebook.com/robertoburioniMD/ Medical facts]