Visualizza wikitesto di Le caratteristiche della sollecitazione nelle piastre

{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Scienza delle costruzioni}}
Al contrario di quanto avviene con le travi, nelle piastre per definire le caratteristiche della sollecitazione non si può considerare una sezione, ma è necessario fare riferimento ad elementi di dimensione unitaria. 

==Momenti==
{{Todo|Inserire immagine contenente le caratteristiche della sollecitazione}}
Considerando un elemento di piastra dalle dimensioni <math>x\;y</math> unitarie, è possibile identificare tre momenti che agiscono sulle facce dell'elemento per effetto della restante parte di struttura: due momenti flettenti e un momento torcente.

Vengono indicati con <math>M_x</math> il momento flettente che agisce parallelamente alla dimensione <math>x</math>, e cioè che esplica la sua azione nel piano <math>x-z</math>, con <math>M_y</math> quello che agisce nella direzione di <math>y</math>, e con <math>M_{xy}</math> il momento torcente che agisce sulle facce dell'elemento in analisi. 

<math>M_x=\int_{-s/2}^{s/2}\sigma_xzdz=
-\frac{E}{1-\nu^2}\left(\frac{\delta^2v_z}{\delta x^2}+\nu\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2}\right)\int_{-s/2}^{s/2}z^2dz=
-\frac{E}{1-\nu^2}\left(\frac{\delta^2v_z}{\delta x^2}+\nu\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2}\right)\frac{s^3}{12}=
-\frac{Es^3}{12\left(1-\nu^2\right)}\left(\frac{\delta^2v_z}{\delta x^2}+\nu\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2}\right)</math>

Si pone:

<math>B=\frac{Es^3}{12\left(1-\nu^2\right)}</math>

Per comprendere cosa rappresenta <math>B</math> si consideri che <math>\frac{s^3}{12}</math> rappresenta il momento di inerzia della sezione considerata. Per una sezione rettangolare di lati bxh, infatti, esso vale <math>J=\frac{bh^3}{12}</math>, e considerando che in questo caso la larghezza è unitaria e l'altezza è rappresentata dallo spessore si comprende come l'espressione di <math>B</math> sia molto simile all'espressione della rigidezza flessionale di una trave avente quella sezione <math>\left(\frac{Es^3}{12}\right)</math>. Il termine <math>B</math>, quindi, rappresenta la '''rigidezza flessionale della piastra''', e si differenzia dall'omologa nel caso della trave solo per il fattore <math>\left(1-\nu^2\right)</math>, il quale è dovuto alla contrazione laterale che nelle piastre non avviene liberamente come nelle travi.

Di conseguenza si può scrivere:

<math>M_x=-B\left(\frac{\delta^2v_z}{\delta x^2}+\nu\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2}\right)</math>

e con ragionamento analogo si può arrivare a scrivere:

<math>M_y=-B\left(\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2}+\nu\frac{\delta^2v_z}{\delta x^2}\right)</math>

Qualora il sistema di riferimento abbia l'asse <math>z</math> rivolto verso il basso, che tra l'altro è la convenzione più diffusa nell'analisi delle piastre<ref>Tale convenzione è dovuta sempre alle principali modalità di carico delle piastre: in linea generale si considera l'asse <math>z</math> positivo nel verso dei carichi agenti, e dal momento che nella quasi totalità delle piastre i carichi agenti sono quelli gravitazionali solitamente l'asse <math>z</math> segue la convenzione di essere diretto verso il basso.</ref>, i momenti assumono valore positivo quando tendono le fibre inferiori. Dal momento che le analisi sono state effettuate considerando un elemento di dimensioni unitarie, in realtà le quantità trovate non rappresentano dei momenti flettenti veri e propri, ma rappresentano dei momenti flettenti '''per unità di lunghezza''', e per questo dimensionalmente hanno le dimensioni di una forza:

<math>[M_i]\,=\,\frac{[F\cdot L]}{[L]}\,=\,[F]</math>

Questa considerazione, naturalmente, vale anche per il momento torcente <math>M_{xy}</math>, dal momento che anche quest'ultimo è calcolato con riferimento ad un elemento di dimensioni unitarie nel modo seguente:

<math>
M_{xy}=\int_{-s/2}^{s/2}\tau_{xy}zdz=
-\frac{E}{1+\nu}\frac{\delta^2v_z}{\delta x\delta y}\int_{-s/2}^{s/2}z^2dz=
-\frac{Es^3}{12\left(1+\nu\right)}\frac{\delta^2v_z}{\delta x\delta y}=
-B\left( 1-\nu\right) \frac{\delta^2v_z}{\delta x\delta y}</math>

La quantità prima definita è positiva quando le tensioni tangenziali nei punti al di sopra del piano medio agiscono con una direzione opposta all'asse di riferimento.

Naturalmente, dato che <math>\tau_{xy}=\tau_{yx}</math>, i momenti torcenti lungo le facce del medesimo elemento considerato saranno uguali <math>M_{xy}=M_{yx}</math>

==Tagli==
Nell'elemento di dimensioni unitarie si riconoscono agire due tagli:

<math>T_x=\int_{-s/2}^{s/2}\tau_{xz}dz</math>

<math>T_y=\int_{-s/2}^{s/2}\tau_{yz}dz</math>

Così definiti questi tagli dovrebbero avere valore nullo, dal momento che sono nulle le tensioni tangenziali da cui dipendono. In realtà, tuttavia, l'ipotesi alla base di questa affermazione è un'ipotesi semplificativa, e d'altro canto se non considerassimo i tagli prima definiti non sarebbe mai possibile effettuare alcuna verifica alla traslazione verticale<ref>Si consideri ad esempio una piastra generica con un carico uniformemente distribuito. Considerando un generico elemento della piastra stessa che non contenga vincoli il carico agente non avrebbe possibilità di trovare equilibrio perché i tagli sono le uniche reazioni possibili omologhe ad esso. D'altro canto una situazione analoga si avrebbe considerando all'interno dell'elemento la presenza del vincolo: a meno di porzioni di piastra opportunamente scelte, infatti, in linea generale esisterà una differenza tra il valore della reazione vincolare e il valore del carico agente sulla porzione di piastra scelta. La non sussistenza dell'equilibrio, naturalmente, è inaccettabile per l'analisi, dal momento che questa si basa esattamente su questa condizione, ed è noto che l'equilibrio deve essere rispettato sia dal sistema nel suo insieme sia da ogni singola parte che lo compone. D'altro canto è facile intuire l'improbabilità che una porzione di piastra soggetta ad un qualsiasi carico verticale non trasmetta questo sforzo alla restante parte della struttura</ref>. Per questo motivo nella trattazione si presenta un'incongruenza, la quale è tuttavia comunemente tollerata.

Per il calcolo dei tagli si ricorre alle '''equazioni indefinite di equilibrio della piastra''': si considera un elemento infinitesimo della piastra di dimensioni in pianta <math>dx\;dy</math> e con altezza pari allo spessore. Facendo l'equilibrio attorno alla retta parallela all'asse <math>x</math> passante per lo spigolo dell'elementino considerato si ottiene:

<math>T_xdydx=\left( M_x+\frac{\delta M_x}{\delta x}dx\right)dy-M_xdy+\left( M_{yx}+\frac{\delta M_{yx}}{\delta y}dy\right)dx-M_{yx}dx</math>

Operando analogamente per l'asse <math>y</math> si ha:

<math>T_ydxdy=\left( M_y+\frac{\delta M_y}{\delta y}dy\right)dx-M_ydx+\left( M_{xy}+\frac{\delta M_{xy}}{\delta x}dx\right)dy-M_{xy}dy</math>

Da queste relazioni è possibile arrivare a definire i valori dei tagli:

<math>T_x=-B\frac{\delta}{\delta x}\left( \frac{\delta^2v_z}{\delta x^2}+\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2} \right)\;\;
T_y=-B\frac{\delta}{\delta y}\left( \frac{\delta^2v_z}{\delta x^2}+\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2} \right)
</math>

Analogamente a quanto visto per i momenti, i tagli non hanno le dimensioni di una forza ma di una forza per unità di lunghezza.

==Le caratteristiche della sollecitazione secondo una generica direzione==
{{Todo|Inserire immagine esplicativa}}
Si supponga di conoscere le caratteristiche della sollecitazione secondo due direzioni <math>x\;y</math> e di voler conoscere nella medesima porzione di piastra il valore delle caratteristiche della sollecitazione secondo un'altra direzione generica di normale <math>\mathbf{n}</math> inclinata rispetto all'asse <math>y\;</math> di un generico angolo <math>\;\alpha</math>.

Si considera un elemento infinitesimo di piastra a forma di prisma a base triangolare. Il triangolo di base è costruito in modo che abbia i tre lati paralleli ai due assi <math>x\;y</math> e alla direzione <math>\mathbf{m}</math> normale ad <math>\mathbf{n}</math> e quindi parallela al piano rispetto al quale si vogliono trovare le caratteristiche della sollecitazione. Le dimensioni del prisma sono:

*base: <math>dx\,\,dy\,\,dm</math>
*altezza: <math>s\,</math>

Naturalmente valgono le seguenti relazioni tra i lati del triangolo:

<math>dm=\frac{y}{cos\alpha}=\frac{x}{sin\alpha}</math>

{{Todo|Inserire passaggi matematici che permettono di arrivare alla soluzione}}
Facendo l'equilibrio alla rotazione intorno alla direzione <math>m</math> e intorno alla direzione <math>n</math> e facendo l'equilibrio alla traslazione verticale si ottiene:

<math>\left\{ \begin{matrix} \begin{align}
&M_n=\frac{1}{2}\left( M_x+M_y \right)+\frac{1}{2}\left( M_x-M_y\right)cos2\alpha -M_{xy}sin2\alpha \\
&M_{nm}=\frac{1}{2}\left( M_x-M_y\right)sin2\alpha +M_{xy}cos2\alpha \\
&T_n=T_xcos\alpha +T_y sin\alpha
\end{align}\end{matrix} \right .</math>

Volendo fare la stessa analisi per la direzione <math>m</math> perpendicolare a quella finora analizzata si ottiene:

<math>\left\{ \begin{matrix} \begin{align}
&M_m=\frac{1}{2}\left( M_x+M_y \right)-\frac{1}{2}\left( M_x-M_y\right)cos2\alpha +M_{xy}sin2\alpha \\
&M_{mn}=-M_{nm}=-\frac{1}{2}\left( M_x-M_y\right)sin2\alpha -M_{xy}cos2\alpha \\
&T_m=T_xsin\alpha -T_y cos\alpha
\end{align}\end{matrix} \right .</math>

Provando a sommare <math>M_m\,+\,M_n</math> il risultato che si ottiene è esattamente pari a <math>M_x\,+\,M_y</math>. Cioè, a causa dell'arbitrarietà con cui si è scelta la direzione <math>n</math>, è possibile affermare che la somma dei momenti flettenti per unità di lunghezza secondo due direzioni ortogonali è un invariante, cioè non varia con la giacitura.

In generale, variando l'inclinazione del piano considerato (cioè <math>\alpha</math>), cambiano anche i momenti flettenti torcenti e il taglio. Le relazioni espresse in precedenza, tuttavia, sono funzioni periodiche, le quali dunque presentano un massimo e un minimo interni al campo <math>0\le\alpha\le\pi</math>. I valori delle caratteristiche della sollecitazione di grado estremo sono:

<math>\left\{ \begin{matrix} \begin{align}
&M_n=\frac{1}{2}\left(M_x+M_y\right)\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(M_x-M_y\right)^2+4M_{xy}} \\
&M_{nm}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(M_x-M_y\right)^2+4M_{xy}}
\end{align}\end{matrix} \right .</math>

Il valore dell'angolo <math>\alpha</math> che massimizza il momento flettente è fornito da:

<math>tg2\alpha = \frac{2M_{xy}}{\left(M_x-M_y\right)}</math>

Il momento torcente, invece, assume valore massimo quando:

<math>tg2\alpha = \frac{\left(M_x-M_y\right)}{2M_{xy}}</math>

È interessante notare come in corrispondenza dei momenti flettenti massimo e minimo il momento torcente assume valore nullo. Questi valori, similmente a come già fatto per le [[Analisi della tensione|tensioni]] e le [[Analisi della deformazione - Seconda parte#Le dilatazioni e direzioni principali della deformazione|deformazioni]], si è soliti definirli '''momenti principali''', e le direzioni in cui si sviluppano '''direzioni principali'''. Si rileva anche che le direzioni cui corrispondono i valori estremi dei momenti flettenti e torcenti presentano tra loro un angolo pari a <math>\pi /4</math>.

==Note==
<references/>