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{{Risorsa|tipo = appunti|materia1 = Analisi matematica|avanzamento = 100%}}

__TOC__
== Relazione d'ordine ==
Sia <math>R</math> una relazione. Si dice che <math>R</math> è una relazione '''d'ordine''' se è 
* riflessiva
* transitiva
*<span style = "text-decoration: underline">antisimmetrica</span>.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme <math>A</math>, allora si dice che <math>A</math> è ordinato e si indica con <math>(A,\leq)</math>.

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita
:<math>xRy\Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}\ :\ x+n=y</math>
È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che <math>R</math> è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di <math>\leq</math>.

Se <math>x\leq y </math> oppure <math>y\leq x</math>, allora la relazione si dice di '''ordine totale''' (o lineare).

=== Insiemi limitati ===
Sia <math>(A,\leq)</math> un insieme ordinato e <math>A'\subseteq A</math> un sottoinsieme non vuoto. Allora <math>a\in A</math> si dice '''maggiorante''' di <math>A'</math> se
<div align="center"><math>a\geq b,\ \forall b\in A'</math></div>
Analogamente si dice che <math>a \in A</math> è '''minorante''' di <math>A</math> se
<div align="center"><math>a \leq b,\ \forall b \in A'</math></div>

Se <math>a</math> è maggiorante (minorante) ed è anche appartenente ad <math>A'</math>, allora si dice che <math>a</math> è il '''massimo''' ('''minimo''') di <math>A'</math>. Si indicano rispettivamente con
<div align="center"><math>\max A\ \ \ \ \ \min A</math></div>

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.
==== Proposizione (unicità di massimo e minimo)====
{{riquadro|border = 1px solid blue|contenuto =
Sia <math>(A,\leq)\neq \emptyset</math> e <math>A\subseteq B</math>. Se <math>A</math> ha massimo, allora è unico.
}}
===== Dimostrazione =====
Sia <math>m=\max A</math>. Supponiamo che esista un altro <math>m'=\max A</math>. Allora, per la definizione di massimo, si ha
:<math>m,m'\in A\ \ m\geq a\in A</math>(*) e
:<math>m'\geq a\in A</math>(**).
Siccome <math>m'</math> è un elemento di <math>A</math>, per la (*) si ha <math>m \geq m'</math>. D'altra parte, siccome anche <math>m\in A</math>, per la (**) abbiamo <math>m'\geq m\in A</math>.<br />
Allora altro non può essere che 
<div align="center"><math>m=m'</math>.</div>{{endproof}}
=== Estremo superiore e inferiore ===
Si dice '''estremo superiore''' il più piccolo dei maggioranti ed '''estremo inferiore''' il più grande dei minoranti. In altri termini:
<div align="center"><math>\sup A = \min \{x \geq a,\ \forall a\in A\} </math><br /><math>\inf A = \max \{ x \leq a,\ \forall a\in A\}</math></div>

Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.
==== Esempi ====
1. Sia <math>A=\{x\in \mathbb{Q}\ :\ 0\leq x < 1\} </math>. Studiamo un po' questo insieme.
:<math>A</math> è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di <math>A</math> sono però <span style = "text-decoration: underline">tutti</span> quei razionali <span style = "text-decoration: underline">strettamente </span> più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se <math>\lambda</math> fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che <math>\lambda \geq x \in A</math> pur essende stesso un elemento di <math>A</math> e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale <math>y\in \mathbb{Q}\ :\ x<y<1,\ \forall x \in \mathbb{Q}</math>. Dunque un <math>\lambda</math> siffatto non è un maggiorante e dunque <math>\sup A = 1</math>.
:Osserviamo anche che gli elementi di <math>A</math> sono tutti maggiori o uguali di 0 ma <math>0 \in A</math> e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque <math>0 = \min A</math>.

{{todo|vedere se scrivere il teorema 3.7}}

Se un insieme ordinato <math>A</math> ha maggioranti, tale insieme si dice '''superiormente limitato'''. Analogamente si dice '''inferiormente limitato ''' se esistono minoranti.

== Completezza di un insieme ==
Un insieme ordinato <math>A</math> si dice '''completo''' se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in <math>A</math>.

==== Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)====
{{riquadro|border = 1px solid blue|contenuto =
Sia <math>(\mathbb{I},\leq)</math> completo e <math>A\subseteq \mathbb{I},\ A \neq \emptyset</math>. Allora <math>A</math> ha estremo inferiore in <math>\mathbb{I}</math>.
}}
===== Dimostrazione =====
<math>A</math> è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in <math>\mathbb{I}</math> l'insieme dei minoranti di <math>A</math> 
<div align="center"><math>M=\{m \leq a,\ \forall a \in A\}</math>.</div> Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di <math>A</math> è maggiorante di <math>M</math>, dunque <math>M</math> ha estremo superiore in <math>\mathbb{I}</math> (perché, per ipotesi, <math>\mathbb{I}</math> è completo). Sia <math>\lambda = \sup M</math>. <br /> Ogni elemento di <math>A</math> è più grande di ogni elemento di <math>M</math> ma anche <math>a \geq \lambda,\ \forall a\in A</math> dato che <math>\lambda</math> è il più piccolo tra i maggioranti di <math>M</math>.<br /> Ma allora <math>\lambda \in M</math> e dunque <math>\lambda = \max M</math>. Infine, essendo <math>\lambda</math> il massimo dei minoranti di <math>A</math>, è per definizione l'estremo inferiore di <math>A</math>. {{endproof}}

{{cassetto|titolo = Esercizio: L'insieme dei numeri razionali non è completo|testo =
Dimostriamo che <math>(\mathbb{Q},\leq)</math> non è completo, quindi che esistono sottoinsiemi superiormente limitati ma che non hanno estremo superiore. <small>(d'ora in avanti indicheremo con <math>\mathbb{Q}</math> l'insieme <math>(\mathbb{Q},\leq)</math></small>.

Per giungere al nostro scopo, dimostriamo che non è vero che <math>\mathbb{Q}</math> è completo; dunque forniamo un controesempio.<br />Consideriamo 
<div align="center"><math>R=\{x\in \mathbb{Q}\ :\ x>0,\ x^2<2\}</math></div>

<math>R</math> non è ovviamente vuoto ed ha dei maggioranti (ad esempio 2 è un maggiorante, visto che <math>2^2 = 4 > 2 \Rightarrow 2 > x,\forall x\in R</math>). Proviamo ora che non esiste l'estremo superiore di questo insieme, cioè che non esiste un <math>m\in \mathbb{Q}</math> il minore di tutti i maggioranti di <math>R</math>.

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che <math>m=\sup R</math> esista.
* Se <math>m^2<2</math>, allora <math>m \in R</math>. Però esiste certamente <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math> tale che <math>(m+\varepsilon)^2<2</math>. <br />Infatti <math>\mathbb{Q}</math> è un insieme '''denso''', dunque tra due razionali esiste sempre un altro razionale; in questo caso se <math>2 = m+\alpha</math>, si ha <math>0 < \varepsilon < \alpha </math> e dunque <math>m+\varepsilon < m+\alpha = 2</math>.
:Ma allora <math>m\in R</math> e <math>m+\varepsilon \in R</math> e da qui si ottiene che in <math>R</math> c'è un valore più grande di <math>m</math> e questo contraddice l'ipotesi che <math>m^2<2</math>.

* Se <math>m^2=2</math>, possiamo scrivere anche <math>m=\frac{p}{q}</math> (con <math>p,q</math> primi tra loro) e quindi <math>\frac{p^2}{q^2}=2</math>. Da qui <math>p^2=2q^2</math> e il fatto che il secondo membro sia pari, ci dice che <math>p^2</math> è pari e dunque lo è anche <math>p</math>. Allora possiamo scrivere il tutto come <math>4y^2=2q^2</math> (con <math>p=2y</math>) ed equivalentemente <math>2y=^2=q^2</math>. Per lo stesso ragionamento di prima, anche <math>q</math> è pari e questa è una contraddizione perché avevamo supposto <math>p,q</math> primi tra loro!

:<small>Questa è anche la prova classica che esistono numeri non razionali.</small>

* Infine, se <math>m^2>2</math>, allora esiste certamente (per lo stesso criterio del punto 1) un <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math> tale che <math>(m-\varepsilon)^2 > 2</math>. Ma <math>x^2<(m-\varepsilon)^2</math> e siccome entrambi i membri sono positivi, <math>x<m-\varepsilon</math> e dunque <math>m-\varepsilon</math> è un maggiorante di <math>R</math> e abbiamo finito, perché questo contraddice l'ipotesi che <math>m</math> sia il più piccolo dei maggioranti e dimostra che non può essere nemmeno <math>m^2>2</math>
}}