Visualizza wikitesto di Numeri reali (seconda parte)

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== Proprietà di <math>\mathbb{R}</math> ==

# <math>(\mathbb{R},+,\cdot,\leq)</math> è un campo commutativo e totalmente ordinato.
# <math>(\mathbb{R},\leq)</math> è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.<br />La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato <math>A\subseteq \mathbb{R}</math>, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

== Valore assoluto ==

Sia <math>x \in \mathbb{R}</math>. Si definisce il '''valore assoluto''' (o modulo) di <math>x</math> il numero reale <math>|x|=\max \{x,-x\}</math>.

==== Proposizione (proprietà del valore assoluto) ====

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto= <math>\forall x,y\in \mathbb{R}</math>,

# <math>|x|\geq 0</math>
# <math>\pm x\leq |x|</math>
# <math>|xy|=\left|x\right| \left|y\right|</math>
# <math>\forall m>0, |x| \leq m \Leftrightarrow -m \leq x \leq m </math>
# <math>-|x|\leq x \leq |x|</math>
# <math>\forall m > 0, |x| \geq m \Leftrightarrow x \leq-m \vee x \geq m</math>
# <math>|x+y|\leq \left|x\right| + \left|y\right|</math> (''disuguaglianza triangolare'')

}}

===== Dimostrazione =====

La 1 segue dal fatto che <math>\{x;-x \}</math> contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di <math> \{x;-x \}</math>, si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione <math>\max\{x;-x \}=|x| \geq 0 </math>.

La 2 segue dal fatto che <math>|x|</math> è il massimo dell'insieme <math>\{x;-x  \}</math>, mentre la 3 è facile da verificare.

Si dimostra la 4. Se <math>x\geq 0</math>, allora <math>|x|=x \leq m</math>, mentre se <math>x<0 </math>, allora <math>|x|=-x \leq m</math>, da cui <math>x \geq -m</math> . In conclusione <math>-m \leq x \leq m</math>. La 4 vale anche se si sostituiscono <math> \leq</math> e <math> \geq</math>  con rispettivamente <math> < </math> e <math> > </math>.
La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti <math>m=|x|</math>.

Si dimostra la 6. Se <math>x\geq 0</math>, allora <math>|x|=x \geq m</math>, mentre se <math>x<0 </math>, allora <math>|x|=-x \geq m</math>, da cui <math>x \leq -m</math> . Concludendo <math> x \leq-m \vee x \geq m</math>. La 6 vale anche se si sostituiscono <math> \geq</math> e <math> \leq</math> con rispettivamente <math> > </math> e <math> < </math>.

Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo <math>-|x|\leq x \leq |x|</math> e <math>-|y|\leq y \leq |y|</math>, da cui sommando membro a membro si ha <math>-|x|-|y|=-(|x|+|y|)\leq x+y \leq |x|+|y|</math>. In conclusione per la proprietà 4
<div align="center"><math>|x+y|\leq |x|+|y|</math>.</div>

== Parte intera ==

Sia <math>x \in \mathbb{R}</math>. Si definisce '''parte intera''' di <math>x\,</math> il numero intero, denotato con <math>[x]\,</math>, tale che:
<div align="center"><math>[x]=\max\{p \in \mathbb{Z} | p\leq x\} </math>.</div>
Si può verificare facilmente che <math>\forall x \in \mathbb{R}, [x] \leq x <[x]+1 </math>.

== Mantissa ==

Sia <math>x \in \mathbb{R}</math> e <math>[x]\,</math> ''parte intera'' di <math>x\,</math>. Si definisce il '''mantissa''' di <math>x\,</math> il numero reale, denotato con <math>(x)\,</math>, tale che:
<div align="center"><math>(x)= x - [x] \,</math></div>
Si può dimostrare facilmente che <math> \forall x \in \mathbb{R}, 0\leq (x)<1</math>. Infatti sottraendo ai membri di <math> [x]\leq x<[x]+1</math> il numero <math> [x]</math> ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa, <math>0 \leq(x)<1</math>.

== Induzione matematica e insiemi induttivi ==

Un insieme <math>I\subseteq \mathbb{R}</math> tale che
# <math>1 \in I</math>
# <math>x\in I \Rightarrow x+1 \in I</math>
si dice '''induttivo'''.

=== Insieme dei numeri naturali ===

Chiamiamo insieme dei numeri naturali <math>\mathbb{N}</math> l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.

Facciamo notare che per definizione <math>\mathbb{N}</math> è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo  contiene.

==== Teorema (principio di induzione matematica) ====

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>P(n)</math> una proposizione logicamente significativa. Se

# <math>P(1)</math> è vera
# <math>P(n) \Rightarrow P(n+1)</math>

allora <math>P(n)</math> è vera per ogni <math>n \in \mathbb{N}</math>.
}}

===== Dimostrazione =====

Sia <math>M</math> l'insieme degli <math>n \in \mathbb{N} </math> per cui valgano le condizioni 1 e 2. <math>M</math> è allora un insieme induttivo e quindi <math>\mathbb{N}\subseteq M</math>. D'altra parte si ha, per ipotesi, che <math>M \subseteq \mathbb{N}</math>. In conclusione <math>M=\mathbb{N}</math>.

== Importanti considerazioni finali ==

==== Lemma ====

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
<math>\mathbb{N}</math> non è superiormente limitato.
}}

===== Dimostrazione del Lemma =====

Infatti, se lo fosse, per la completezza di <math>\mathbb{R}</math> esisterebbe un reale <math>m</math> tale che <math>m = \sup \mathbb{N}</math>. Però, siccome <math>m</math> è il minore di tutti i maggioranti, <math>m-1</math> non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno <math>n \in \mathbb{N}</math> si ha che <math>m-1<n</math> e dunque <math>m < n+1 \in \mathbb{N} </math> e abbiamo finito, perché l'ipotesi che <math>m</math> sia un maggiorante è contraddetta.

==== Teorema (proprietà di Archimede) ====

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
<math>\mathbb{R}</math> è archimedeo, ovvero <math>\forall x>0,y >0 \exists n\in \mathbb{N}\ :\ nx>y</math>.}}

===== Dimostrazione =====

Sia invece <math>\forall n\in \mathbb{N},nx \leq y </math>. Dunque <math> \forall n\in\mathbb{N} , n \leq \frac{y}{x}</math> e quindi <math>\mathbb{N}</math> è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.

==== Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali) ====

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Siano <math>x,y \in \mathbb{R}\ </math> e sia <math>x<y</math>, allora <math>\exists z \in \mathbb{Q}\ :\ x<z<y</math>.
}}

===== Dimostrazione =====

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che <math>x<y</math> da cui si evince facilmente che <math>y-x>0</math>. Essendo <math>\mathbb{R}</math> archimedeo, allora esisterà un <math>n\in\mathbb{N}</math> tale che <div align="center"><math>n(y-x)>1 \Leftrightarrow ny> n x+1</math>.</div> Ora notando che <div align="center"><math>nx<[nx]+1\leq nx+1</math></div>
si ha <div align="center"><math>nx<[nx]+1<ny</math>.</div>Dividendo per <math>n</math> tutti i tre membri si ricava<div align="center"><math>x<\frac{[nx]+1}{n}<y</math></div>
in cui <math>z=\frac{[nx]+1}{n}\in\mathbb{Q}</math>.

==== Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali) ====

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Siano <math>x,y \in \mathbb{R}\ </math> tali che <math>x<y</math>, allora <math>\exists z \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\ :\ x<z<y</math>.}}

===== Dimostrazione =====

Dall'ipotesi <math>x<y</math> segue che <math>x- \sqrt 2<y-\sqrt 2</math>. Per il precedente teorema, esiste almeno un numero <math> q \in \mathbb{Q}</math> tale che
<div align="center"><math>x-\sqrt 2<q<y-\sqrt 2</math>,</div>
da cui, aggiungendo a tutti i membri <math>\sqrt 2</math>,
<div align="center"><math>x<q +\sqrt 2<y</math>.</div>
Non è difficile verificare che <math>z=q +\sqrt 2 \in \mathbb{R} -\mathbb{Q}</math>.

==== Intervalli ====

Terminiamo con la seguente conclusione.
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Dati <math>x,y \in \mathbb{R}\ </math> tali che <math>x<y</math>, l'insieme <math>\left \{ z \in \mathbb{R} : x<z<y \right\}</math> contiene almeno un numero razionale ed almeno un numero irrazionale.}}

Ha senso quindi parlare di '''intervallo'''. Per convenzione, dati <math>a <b</math>,
<div align="center"><math>(a; b):=\left \{ x \in \mathbb{R} : a<x<b \right\}</math>,</div>
<div align="center"><math>[a; b):=(a;b)\cup \left \{a \right\}</math>,</div>
<div align="center"> <math> (a; b]:=(a;b)\cup \left \{b \right\}</math>, </div>
<div align="center"><math> [a; b]:=(a;b)\cup \left \{a; b \right\} </math>,</div>
<div align="center"><math>(a;+ \infty):=\left \{ x \in \mathbb{R} : x> a \right\}</math>,</div>
<div align="center"><math> [a;+ \infty):=(a; +\infty)\cup\left \{a\right\}</math>,</div>
<div align="center"><math>(-\infty;a):=\left \{ x \in \mathbb{R} : x< a \right\}</math>,</div>
<div align="center"><math>(-\infty;a]:=(-\infty; a)\cup\left \{a\right\}</math>.</div>
Poniamo inoltre <math>(-\infty;+\infty):=\mathbb{R}</math>.