Visualizza wikitesto di Oscillatore armonico (meccanica quantistica)

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__TOC__

==Introduzione==
In meccanica classica, si definisce '''oscillatore armonico''' (nel seguito abbreviato in ''O.A.'') un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla ''posizione di equilibrio''; si tratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione.
Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema ''unidimensionale'', per poi generalizzare la trattazione in seguito.

In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia <math>q</math> la ''coordinata'' della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, <math>p</math> il suo ''momento'', <math>m</math> la sua massa e <math>F=-m\omega^2 q</math> la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondente in meccanica quantistica è quello di una particella di massa <math>m</math>, con Hamiltoniana

<div align="center"><math>\mathcal{H}=\frac{1}{2m}(p^2+m^2\omega^2q^2),</math></div>

con la coordinata <math>q</math> e il momento <math>p</math> legate dalla relazione <div align="center"><math>[q,p]=i\hbar.</math></div>
==Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana==
Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:
<div align="center"><math>H=\frac{\mathcal{H}}{\hbar\omega},\quad Q=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,q,\quad P=\sqrt{\frac{1}{m\hbar\omega}}\,p.</math></div>
Trasformiamo il nostro problema in quello ''equivalente'' di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore
<div align="center"><math>H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2),\qquad [Q,P]=i.</math></div>
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione <math>\{Q\}</math>, e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo <math>P=-i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}:</math>

<div align="center"><math>\frac{1}{2}\left[-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}Q^2}+Q^2\right]\varphi(Q)=\varepsilon \varphi(Q).</math></div>

Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a [[w:Paul Dirac|Dirac]], che consiste nella costruzione degli autovettori di <math>H</math> applicando un particolare operatore ad uno di essi.

Poniamo:
<div align="center"><math>a=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(Q+iP\right),\quad a^\dagger=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(Q-iP\right).</math></div>
Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:
<div align="center"><math>[a,a^\dagger]=1,\quad H=\frac{1}{2}(a a^\dagger + a^\dagger a),\quad Q=\frac{\sqrt{2}}{2}(a+a^\dagger),\quad P=\frac{\sqrt{2}}{2i}(a-a^\dagger).</math></div>

Ponendo <math>N=a^\dagger a</math>, si ricava<ref><math>[a,a^\dagger]=1\iff a a^\dagger -N =1 \iff N= a a^\dagger -1.</math></ref>:
<div align="center"><math>H=N+\frac{1}{2},\quad Na=a(N-1),\quad Na^\dagger=a^\dagger(N+1).</math></div>

Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).

{{matematica voce|Teorema|Caratterizzazione degli autoavalori di <math>N</math>|
Se <math>|\nu\rangle</math> è un autovettore di <math>N</math>, appartenente all'autovalore <math>\nu</math>, allora:

# <math>\nu \ge 0;</math>
# <math>\nu = 0 \Rightarrow a |\nu\rangle = 0;</math>
# Se <math>\nu \ne 0,\,|\nu\rangle</math> è un vettore non nullo di norma <math>\nu\langle\nu|\nu\rangle,</math> ed è un autovettore di <math>N</math> appartenente all'autovalore <math>\nu -1;</math>
# <math>a^\dagger|\nu\rangle</math> è ''sempre'' un vettore non nullo di norma <math>(\nu+1)\langle\nu|\nu\rangle,</math> ed è un autovettore di <math>N</math> appartenente all'autovalore <math>\nu +1.</math>|
<!-- dimostrazione -->
Dalla definizione di norma sul nostro spazio di Hilbert ricaviamo:

<math>\|a|\nu\rangle\|^2=\langle\nu|a^\dagger a|\nu\rangle=\langle\nu|N|\nu\rangle=\nu\langle\nu|\nu\rangle;</math>

<math>\|a^\dagger|\nu\rangle\|^2=\langle\nu|a a^\dagger|\nu\rangle=\langle\nu|N+1|\nu\rangle=(\nu+1)\langle\nu|\nu\rangle.</math>

In uno spazio di Hilbert, la norma di un vettore è non negativa, ed è uguale a 0 se e solo se si tratta del vettore nullo; questa proprietà è garantita se e solo <math>\nu\ge 0.</math>

È ovvio che nel caso in cui <math>\nu=0</math>, il vettore <math>a|\nu\rangle</math> coincide col vettore nullo. Inoltre troviamo:

<math>Na|\nu\rangle=a(N-1)|\nu\rangle=(\nu-1)a|\nu\rangle;</math>

<math>Na^\dagger|\nu\rangle=a^\dagger(N+1)|\nu\rangle=(\nu+1)a^\dagger|\nu\rangle.</math>
}}

Sia ora <math>\nu >0</math>; possiamo applicare il teorema al vettore <math>a|\nu\rangle</math>, appartenente all'autovalore <math>\nu-1</math>: questo implica <math>\nu \ge 1</math>. Se <math>\nu >1</math>, possiamo applicare il teorema al vettore <math>a^2|\nu\rangle</math>. Iterando questo ragionamento, costruiamo un insieme di autovettori
<div align="center"><math>a|\nu\rangle,a^2|\nu\rangle,\ldots,a^p|\nu\rangle,\ldots,</math></div>
appartenenti rispettivamente agli autovalori
<div align="center"><math>\nu-1,\nu-2,\ldots,\nu-p,\ldots\,.</math></div>

==Note==
<references/>
==Bibliografia==
*Albert Messiah, ''Quantum Mechanics'', Dover Publications, 1999. ISBN 0-486-40924-4