Visualizza wikitesto di Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria

{{Risorsa|tipo=esercitazione|materia1=Matematica finanziaria}}

Di seguito è riportata una raccolta di alcuni problemi di matematica finanziaria risolti nel corso dei secoli, utile per avere una visione delle diverse metodologie operative usate.

==Problema babilonese del 1700 a.C.==

Il seguente problema si trova in una tavola babilonese del 1700 a.C., conservata presso la collezione del Louvre; già all<nowiki>'</nowiki>epoca venivano risolti problemi sul calcolo dell<nowiki>'</nowiki>interesse:

''Quanto tempo occorre perché una certa somma di moneta si raddoppi con un interesse annuo composto del 20%?''

Il problema si risolve in questo modo (considerando ''somma di moneta'' = <math> 1\ </math>):

''somma di moneta'' a fine del 1º anno: <math> 1 + (1 \cdot\ 0,2) = 1 \cdot\ (1 + 0,2) = 1,2 </math>

''somma di moneta'' a fine del 2º anno: <math> 1,2 + (1,2 \cdot\ 0,2) =1,2 \cdot\ (1 + 0,2) = 1,2 \cdot\ 1,2 = 1,44 </math>

''somma di moneta'' a fine del 3º anno: <math> 1,44 + (1,44 \cdot\ 0,2) = 1,44 \cdot\ (1 + 0,2) = 1,44 \cdot\ 1,2 = 1,728 </math>

''somma di moneta'' a fine del 4º anno: <math> 1,728 + (1,728 \cdot\ 0,2)  = 1,728 \cdot\ (1 + 0,2) = 1,728 \cdot\ 1,2 = 2,0736 </math>

Mediante interpolazione lineare si ha:

<math> 2,0736 - 1,7280 = 0,3456\ </math>

<math> 2,000 - 1,7280 = 0,2720\ </math>

<math> 3+ (2720/3456) = 3,78\ </math> anni

Utilizzando invece le attuali tavole dei logaritmi, o quelle dell<nowiki>'</nowiki>interesse composto, si ha:

<math> (1,2)^n = 2\ </math> ossia  <math> n log 1,2 = log 2\ </math>

da cui: <math> n = log 2/log 1,2 = 3,802\ </math> anni

che elimina l<nowiki>'</nowiki>errore dovuto all<nowiki>'</nowiki>interpolazione lineare.

==Problemi tratti dal Liber Abbaci==

Fino al 1200 circa d.C. la matematica non subì un<nowiki>'</nowiki>evoluzione significativa; i problemi finanziari venivano risolti per approssimazione a causa della grossolanità degli strumenti aritmetici allora conosciuti e al fatto che il sistema di numerazione romano, in uso per molti secoli in Occidente, era del tutto inadeguato a rappresentare i numeri ed eseguire calcoli di una certa complessità.

Fibonacci nel Liber Abbaci (1202) raccolse tutta la matematica nota fino a quel tempo esponendola attraverso dimostrazioni rigorose. Favorì uno sviluppo dell<nowiki>'</nowiki>Algebra giunta attraverso gli Arabi, introducendo il sistema di numerazione posizionale ''degli Indiani'', che semplificò il calcolo aritmetico consentendone una maggiore diffusione; questo portò di conseguenza ad un rinnovamento delle ''Scuole d'abaco'' e a sistemi più sofisticati di matematica finanziaria e perciò ad una migliore organizzazione del commercio.

Il seguente problema è uno dei più famosi contenuti nel Liber Abbaci, riguardante l<nowiki>'</nowiki>ammortamento di un prestito. 
In italiano moderno si può scrivere in questo modo:

“''Un tale presta 100 libre al tasso mensile di 4 denari per libra. Il rimborso avviene riscuotendo l<nowiki>'</nowiki>affitto di una casa di proprietà del debitore. Per quanti anni, mesi, giorni, ore il creditore potrà tenere la casa, se il suo affitto è di 30 libre all<nowiki>'</nowiki>anno?''”

Fibonacci lo risolve in questo modo:
Il creditore guadagnava 4 denari per libra al mese; ricordando che:

1 Soldo = 12 Denari e 
1 Libra = 20 Soldi,

il guadagno era di 4 soldi per libra all<nowiki>'</nowiki>anno; questi soldi corrispondono ad 1/5 di una libra; Fibonacci scrive che ''di 5 si fa 6'', cioè 5 libre dopo un anno producono un interesse pari a 1, e quindi il [[w:Montante (economia)|montante]] di 5 è 6. Siccome la pigione si sottrae ogni anno dal capitale e dall<nowiki>'</nowiki>interesse, questo problema può essere assimilato al seguente problema di viaggi:

"''Un tale aveva 100 libre, con le quali di 5 faceva 6 ad ogni viaggio e spendeva 30 libre. Quanti viaggi faceva con esse?''"

Fibonacci scrive che ''"sono da cercare le riduzioni del capitale di anno in anno"''. Poiché ''"di 5 si fa 6"'', su 100 libre si avrà un interesse di 1/5∙100 = 20 libre all<nowiki>'</nowiki>anno, che sommate alle 100 danno 120 libre tra capitale e frutto dopo il primo anno; detraendo da queste le 30 libre di pigione si ottengono 90 libre. Per arrivare a 100 mancano 10 libre, che ''"sono la riduzione del primo anno"'' (è l<nowiki>'</nowiki>attuale quota di capitale o meglio quota d<nowiki>'</nowiki>ammortamento, in quanto è la somma devoluta all<nowiki>'</nowiki>ammortamento). A questo punto sulle 90 libre rimaste alla fine dell<nowiki>'</nowiki>anno si avrà un interesse di 1/5∙90 = 18, che sommate alle 90 libre danno 108 libre; a queste detraendo la pigione di 30 libre si ottengono 78 libre. Per arrivare a 90 libre ne mancano 12: queste ''"sono la riduzione ''(cioè la quota d<nowiki>'</nowiki>ammortamento) ''del secondo anno"''.
Si nota che nel primo anno il capitale diminuisce di 10 libre, nel secondo di 12 libre, cioè le diminuzioni avvengono in modo proporzionale (da 10 a 12): questo è come 10 sta a 12, ossia 5 sta a 6, e quindi allo stesso modo 12, che è la diminuzione del secondo anno, starà alla diminuzione del terzo, e così via…
In questo modo, Fibonacci imposta un piano di [[w:Ammortamento a rate costanti (francese)|ammortamento francese]], usando l<nowiki>'</nowiki>anno commerciale (360 giorni) e la giornata evangelica di 12 ore, e conclude che il prestito sarà estinto in 6 anni, 8 giorni e ore 5 + 13/29.

==Esempio di problema contenuto in un trattato d<nowiki>'</nowiki>abaco==

In seguito al Liber Abbaci ci fu una diffusione delle ''scuole d<nowiki>'</nowiki>abaco'' dove gli studenti imparavano a fare di conto e a risolvere svariati problemi commerciali, studiando su specifici [[w:Trattati d'abaco|Trattati d'abaco]].

Di seguito è riportato un '''classico esempio di problema finanziario contenuto in un Trattato d<nowiki>'</nowiki>abaco''':

"''Un tale con 60 libre in 8 mesi guadagna 5 libre, a che interesse mensile fu prestata 1 libra?''"

Dividendo 5 per 8 si ottiene il guadagno al mese, cioè 5/8 di libra. Noto che 1 libra è pari a 20 soldi e che 1 soldo è pari a 12 denari, 5/8 di libra corrispondono a 12 soldi e 6 denari, e convertendo tutto in denari, a 150 denari. Dividendo i 150 denari per le 60 libre prestate, si ottiene che il guadagno per libra al mese è di 2 denari e ½ (il che equivale ad un tasso d<nowiki>'</nowiki>interesse di circa l<nowiki>'</nowiki>1,04 %).

Attualmente scriveremmo <math> I = C \cdot\ i \cdot\ t </math>, da cui  <math> i = I/(C \cdot\ t) = 5/(60 \cdot\ 8) </math> che è più immediato, ma il risultato ed il metodo non cambiano.

==Problemi di Cardano e Tartaglia==

Nel XVI secolo si distinguono due matematici, Cardano e Tartaglia, entrambi di formazione abacista, che risolvono particolari problemi.

Il problema di Cardano è un problema contenuto nel testo ''Ars Magna'' a Norimberga nel 1545, in cui si determina il tasso annuo effettivo corrispondente al 10% nominale assunto convertibile due volte all<nowiki>'</nowiki>anno.
Il problema è risolto nel seguente modo, di una semplicità estrema:

<math> 1,05 \cdot\ 1,05 = 1,1025\ </math>

<math> 1,1025 - 1,000 = 0,1025\ </math> ossia 10,25%

Il problema di Tartaglia invece è più complesso ed è contenuto nel suo Trattato Generale (1560):

"''Un mercante concede un prestito di 2814 ducati a condizione che gli vengano 618 ducati all<nowiki>'</nowiki>anno per nove anni alla fine dei quali i 2814 ducati si considerano rimborsati. Quale saggio di interesse composto ottiene il mercante del suo denaro?''"

Indicando con <math> A\ </math> l<nowiki>'</nowiki>ammontare del prestito, <math> R\ </math> la rata annua costante d<nowiki>'</nowiki>ammortamento in <math> n\ </math> anni al tasso <math> i\ </math>, Tartaglia, considerò la formula nota per il calcolo del valore attuale del prestito:
<math> R = A \frac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n}\ </math>

Poiché all<nowiki>'</nowiki>epoca non esistevano ancora i logaritmi, ricavò da questa l<nowiki>'</nowiki>uguaglianza:

<math> \frac{R}{R - iA} = (1 + i)^n\ </math>

da cui si ottiene:

<math> i = \frac{R(1 - (1 + i)^{-n})}{A}\ </math>

e la risolse per tentativi cioè, ponendo <math> R = 618\ </math> e <math> A = 2814\ </math>, provò diversi valori di <math> i\ </math> fino a quando, con approssimazioni successive, trovò il valore <math> i = 0,16335\ </math> per il quale l<nowiki>'</nowiki>uguaglianza suddetta fu verificata con sufficiente approssimazione.

Per <math> i = 0,16335\ </math> si ha:

<math> \frac{R}{(R - iA)} = \frac{618}{[(618 - 0,16335) \cdot\ 2184]} = 3,903\ </math>

e:

<math> (1 + i)^n = (1,16335)^9 = 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 = 3,903\ </math>

==Problema per Re Enrico (equivalenza finanziaria)==

Per risolvere il seguente problema Trenchant a Lione costruì delle tavole per l<nowiki>'</nowiki>interesse composto, che furono le prime ad essere rese pubbliche in Europa nel 1558.

Nel 1555 Re Enrico chiese due prestiti ai suoi banchieri:
- Il primo era all<nowiki>'</nowiki>interesse del 4% ''pagabile ad ogni mercato'': questo interesse era preferito dai banchieri rispetto al 16% annuo, in quanto vi erano 4 mercati all<nowiki>'</nowiki>anno ed il tasso effettivo corrispondente risultava del 16,986%. 
- Nel secondo il Re avrebbe rimborsato il 5% della somma ad ogni mercato sino al 41-esimo pagamento, dopo il quale il debito sarebbe stato estinto.
Quale dei due prestiti era più vantaggioso per i banchieri?

Trenchant capì che per confrontare i tassi dei due prestiti non era necessario convertire il 4% trimestrale del primo prestito ad un tasso annuo; poiché non vi erano ancora tavole dei logaritmi e non possedeva tavole dei montanti calcolò il tasso di interesse <math> i\ </math> del secondo prestito per tentativi, mediante approssimazioni successive. Dopo una serie di lunghissimi calcoli trovò che il tasso del secondo prestito era pari al 4% e dunque che i due prestiti erano equivalenti per i banchieri.

Trenchant decise allora di utilizzare i risultati ottenuti dalla risoluzione del problema sopra citato, per costruire delle tavole per l<nowiki>'</nowiki>interesse composto, in modo tale da poter risolvere più velocemente questo ed altri tipi di problemi.

Nonostante le tavole di <math> (1 + i)^n\ </math> fossero limitate e considerassero solo due tassi di interesse, utilizzando una tavola moderna si ottiene comunque che il tasso del secondo prestito è veramente molto vicino al 4% (per interpolazione si ha <math> i = 0,03998\ </math> ).

Nel XVII secolo si ebbe l<nowiki>'</nowiki>invenzione dei logaritmi ad opera di Napier e Bürgi (che portò alla costruzione di tavole per il calcolo dei montanti di capitali in regime di capitalizzazione composta e di ''Tavole delle progressioni aritmetiche e geometriche'') che, unitamente all<nowiki>'</nowiki>introduzione della geometria cartesiana contribuì allo sviluppo di nuove metodologie di calcolo per la matematica finanziaria: i metodi più efficaci furono quelli basati sugli sviluppi in serie, scoperti da P.Mengoli nel 1659 e Newton nel 1666. Grazie ad essi fu possibile tabulare nei secoli successivi diverse funzioni matematiche utili per il calcolo dell<nowiki>'</nowiki>interesse composto.

==Bibliografia==
Gli esercizi e le note storiche sono tratte dai seguenti testi.
* Vianelli S., ''Dai primi calcoli dell<nowiki>'</nowiki>interesse composto alle attuali applicazioni della matematica finanziaria'', Economia e Credito, Nuova Serie-XVII 4, 1977 pp.&nbsp;690–725
* Vianelli S., ''Una breve storia del calcolo dell<nowiki>'</nowiki>interesse composto'', Economia e Credito, 1967
* Costantini Fabbrizi, ''La matematica finanziaria'', tesina del corso di Storia della matematica tenuto dal prof. Pietro Nastasi all<nowiki>'</nowiki>università di Palermo
* Dolci Paolo V., ''La matematica finanziaria dalle figurae indorum ai logaritmi: frammenti di un discorso storico'' in Dalla Comunità Europea verso l'Unione Europea: problemi e prospettive per il futuro, a cura di G. Savio, CEDAM, 2000
* Franci R., Toti Rigatelli L., ''La matematica nella tradizione dell'abaco nel XIV e XV secolo'', in ''Storia sociale e culturale d'Italia'', vol. V, Bramante, 1989, pp.&nbsp;68–94