Algebra dei limiti

In questa lezione vedremo i principali criteri per il calcolo effettivo dei limiti e le operazioni su di essi possibili.

Lemma (esistenza di un successione convergente per una funzione che ammette limite)

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo che $f(x)$ tenda a $\lambda$, per $x\to x_0$. Sia poi $(x_n)$ una successione in $A\setminus \{x_0\}$convergente a $x_0$.
Per la definizione di limite abbiamo

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$.

Inoltre, siccome la successione converge $x_0$, per la definizione di limite di una successione convergente, abbiamo

$\mathrm{\forall }H\in {ℐ}_{x_0}\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:x_n\in H,\mathrm{\forall }n>m$.

Per come definita la successione $(x_n:\mathbb{N}\to A\setminus \{x_0\})$, i termini della successione stanno tutti in $A\setminus \{x_0\}$ ma anche in $H$ (perché é convergente, lo abbiamo appena visto). Dunque, per ogni $n\in \mathbb{N}$, abbiamo che $x_n\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$
Di conseguenza, $f(x_n)\in L$ per la definizione di limite che abbiamo visto prima e sta in $L$ per ogni $n>m$. Riassumendo

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:f(x_n)\in L,\mathrm{\forall }n>m$$\iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\lambda$.

$\Leftarrow )$ . Supponiamo ora che $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\lambda$ e che questo valga per ogni successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x_0$.
Per provare che anche $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\lambda$, ragioniamo per assurdo e dimostriamo che è impossibile che accada il contrario. Allora formalizziamo "l'inverso" della definizione di limite, cioè prendiamo la definizione di limite e la neghiamo logicamente. Dunque

$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H)\iff$$\mathrm{\exists }L\in {ℐ}_{\lambda }:\mathrm{\forall }H\in {ℐ}_{x_0}\mathrm{\exists }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H:f(x)\in ̸L$.

Definiamo poi

$H_n:=\{\begin{array}{c}]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}[,x\in ℝ\\ ]n,+\mathrm{\infty }[,x=+\mathrm{\infty }\\ ]-\mathrm{\infty },-n[,x=-\mathrm{\infty }\end{array}$

e $A_n:=\{x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H:f(x)\in ̸L\}$.
Notiamo subito che $A_n\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ perché $H_n$ è sempre diverso dal vuoto (in forza di $\mathrm{\forall }H\in {ℐ}_{x_0}$ nella negazione della definizione di limite sopra, dalla quale deduciamo che non può esistere un $H_n=\mathrm{\varnothing }$, altrimenti la proposizione sopra non varrebbe per tutti gli intervalli di $x_0$) ed inoltre $A_n\subseteq A\setminus \{x_0\},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.
Per l'assioma della scelta esiste certamente una successione $x_n:\mathbb{N}\to A\setminus \{x_0\}$ tale che $x(n)=x_n\in A_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Tale successione implica che ogni suo elemento sta in $H_n$ ma $f(x_n)\in ̸L$.

Da qui si deduce che la successione converge a

$x_0$

ma

$f(x_n)$

non tende a

$\lambda$

, contraddicendo l'ipotesi.

$◻$

Algebra dei Limiti

Sia $A\subseteq ℝ$, $f,g:A\to ℝ$, $x_0$ un punto di accumulazione di $A$ e $x_0\in \overline{ℝ}$.

Le dimostrazioni sono piuttosto noiose, ma sono un utile esercizio per prendere confidenza con le successioni usate come "strumenti" per arrivare ad altri risultati. Dimostriamo solo il primo a titolo di esempio, ma vi anticipo che anche i successivi si provano in maniera molto simile, sempre facendo uso del Lemma appena visto.

Limite della somma

Se $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\lambda$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\mu$, allora il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, cioè

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+g(x)=\lambda +\mu$.

Infatti, consideriamo una successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x_0$. Per il Lemma precedente, siccome $f(x)\to \lambda$ e $g(x)\to \mu$, anche $f(x_n)\to \lambda$ e $g(x_n)\to \mu$, per $n\to +\mathrm{\infty }$. Allora (applicando l'algebra delle successioni) abbiamo che

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)+g(x_n)=\lambda +\mu$.

Il Lemma precedente ci assicura a questo punto che anche $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+g(x)=\lambda +\mu$.

Limite del prodotto

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\lambda \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\mu ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)=\lambda \mu$

Limite del quoziente

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\lambda \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\mu ,g(x)\ne 0\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\},\mu \ne 0$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lambda }{\mu }$

Limite di funzioni che tendono a infinito

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+g(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=-\mathrm{\infty }(+\mathrm{\infty })$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)=-\mathrm{\infty }$

Limite di infinito per un reale

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\mu$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+g(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\mu >0$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\mu <0$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+g(x)=+\mathrm{\infty }$

Limite del reciproco di una funzione

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty },f(x)\ne 0\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0,f(x)>0(<0)\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })$

Confronto di Limiti

$f(x)\le g(x),\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$

$f(x)\le g(x),\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}$ $⟹\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=-\mathrm{\infty }\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$