Caratterizzazione sintetica delle variabili casuali

Template:Risorsa In molti casi pratici interessa conoscere alcune caratteristiche sintetiche, dette momenti, di una variabile casuale. Queste caratteristiche possono essere calcolate dalla funzione di densità di probabilità.

Valor medio delle variabili casuali

Si noti che il valor medio della funzione può non essere un risultato possibile per l'esperimento.

Nel caso particolare in cui $n=1$ e con una variabile casuale discreta, si ha

$f_X(x)=\sum _i{p}_i\delta (x-x_i)$

da cui

$Y=g(X)$

ha

$f_Y(y)=\sum _i{p}_i\delta (y-g(x_i))=\sum _j\left(\sum _{i|g(x_i)=y_j}{p}_i\right)\delta (y-y_j)$

da cui si ottiene

$\begin{array}{cc}E[Y]& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y{f}_Y(y)dy\\ & =\sum _j{y}_j\left(\sum _{i|g(x_i)=y_j}{p}_i\right)\\ & =\sum _{i}g(x_i)p_i\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f_X(x)dx\end{array}$

Varianza delle variabili casuali

Si ha:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_X^2& =E[(X-{\mu }_X{)}^2]\\ & =E[(X^2-2{\mu }_{X}X+{\mu }_X^2)]\\ & =E[X^2]-{\mu }_X^2+2E[X]{\mu }_X{\mu }_X\\ & =E[X^2]-{\mu }_X^2=E[X^2]-E^2[X]\end{array}$

Momenti delle variabili casuali

Proprietà

Il valore atteso di una funzione di due variabili casuali $X$ e $Y$, con

• densità di probabilità $f_{X,Y}(x,y)$
• $g:{ℝ}^2\to ℝ$ (funzione di Borel)

è dato da

$E[g(X,Y)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(\alpha ,\beta )f_{X,Y}(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta$

Inoltre, se vale

$g(\alpha ,\beta )=a{g}_1(\alpha ,\beta )+b{g}_2(\alpha ,\beta )$

allora

$E[g(X,Y)]=aE[g_1(\alpha ,\beta )]+bE[g_2(\alpha ,\beta )]$

Somma di variabili casuali

Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali. Allora il valore atteso è

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]={\mu }_X+{\mu }_Y$

mentre la varianza è

$E[((X+Y)-({\mu }_X+{\mu }_Y){)}^2]=E[(X-{\mu }_X{)}^2]+E[(Y-{\mu }_Y{)}^2]+2E[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]={\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2+2E[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]\ne {\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2$

nel caso di indipendenza, si ha

$E[(X+Y-({\mu }_X+{\mu }_Y){)}^2]={\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2$

Prodotto di variabili casuali

Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali. Allora il valore atteso del loro prodotto è

$E[XY]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha \beta f_{XY}(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta \ne E[X]\cdot E[Y]$

Se poi $X$ e $Y$ sono indipendenti, allora si ha

$E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$

La varianza, invece, è

${\sigma }_{XY}^2=𝔼\left[\right(XY-𝔼[XY]{)}^2]=𝔼[X^2{Y}^2]-𝔼[XY{]}^2$

Ancora una volta, nel caso di indipendenza, si ha

${\sigma }_{XY}^2=𝔼\left[\right(XY-𝔼[XY]{)}^2]=𝔼[X^2{Y}^2]-𝔼[XY{]}^2={\sigma }_X^2\cdot {\sigma }_Y^2+𝔼[Y{]}^2\cdot {\sigma }_X^2+𝔼[X{]}^2\cdot {\sigma }_Y^2$

Variabili casuali incorrelate

Si ha

$\begin{array}{ccc}X,Y\text{ indipendenti }& \Rightarrow & \text{ incorrelate }\\ X,Y\text{ incorrelate }& \Rightarrow ̸& \text{ indipendenti }\end{array}$

Si ricordano le definizioni:

• incorrelazione $\Rightarrow E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$
• indipendenza $\Rightarrow f_{XY}(\alpha ,\beta )=f_X(\alpha )\cdot f_Y(\beta )$

Se due variabili casuali sono congiuntamente gaussiane e sono incorrelate, allora sono anche indipendenti; vale il viceversa.

Si ha:

• $X,Y\text{ incorrelate }\Rightarrow ̸X\perp Y$
• $X\perp Y\Rightarrow ̸X,Y\text{ incorrelate}$
• $\{\begin{array}{c}X,Y\text{ incorrelate}\\ {\mu }_X=0\text{ e/o }{\mu }_Y=0\end{array}\Rightarrow X\perp Y$
• $\{\begin{array}{c}X\perp Y\\ {\mu }_X=0\text{ e/o }{\mu }_Y=0\end{array}\Rightarrow X,Y\text{ incorrelate}$
• $X,Y\text{ indipendenti}\Rightarrow ̸X\perp Y$
• $\{\begin{array}{c}X,Y\text{ indipendenti}\\ {\mu }_X=0\text{ e/o }{\mu }_Y=0\end{array}\Rightarrow X\perp Y$
• $X,Y\text{ indipendenti}\Rightarrow (X-{\mu }_X)\perp (Y-{\mu }_Y)$

Si ha che due variabili casuali $X$ e $Y$ sono incorrelate quando $C_{X,Y}=0$.