La piastra ellittica

Template:Risorsa Si consideri una piastra di forma ellittica con semiassi $a,b$ con $a<b$.

Piastra ellittica caricata uniformemente incastrata al contorno

Template:Todo Nel caso in cui si consideri che la piastra così definita sia sottoposta ad un carico uniformemente distribuito e sia incastrata al contorno è ancora possibile avere una soluzione analitica del genere trovato per la piastra circolare.

Per semplicità di trattazione, si fanno coincidere gli assi del riferimento $x,y$ con gli assi dell'ellisse $2a,2b$. L'equazione della superficie elastica, in questo caso, deve assumere la forma seguente:

$v_z=f{(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2})}^2$

Questa forma, infatti, rispetta le equazioni al contorno, secondo cui deve essere $v_z=0$ e $d{v}_z/d{y}_i=0$.

Infatti il termine tra parentesi nell'equazione della superficie elastica è pari a zero in corrispondenza del contorno. Per comprendere ciò si consideri che $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ è l'equazione dell'ellisse, di conseguenza lungo il contorno si ha effettivamente $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, per cui $(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2})=0$.

Derivando una volta l'equazione della superficie elastica rispetto ad esempio a $x$ si ottiene:

$\frac{d{v}_z}{dx}=-\frac{2x}{a^2}f(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2})$

che si annulla ancora in corrispondenza del contorno perché il termine tra parentesi è rimasto invariato.

Nelle equazioni precedenti $f$ rappresenta un fattore moltiplicativo, ma è dotato di un significato fisico ben preciso: considerando $x=0;y=0$, infatti, si ottiene $v_z=f$. Esso, cioè, rappresenta il valore dell'abbassamento in corrispondenza del centro della piastra, e cioè la freccia al centro.

È possibile a questo punto sostituire l'espressione di $v_z$ indicata all'interno dell'equazione della superficie elastica trovata in precedenza (badando di non confonderla con quella definita per la piastra circolare), e che si riporta per comodità:

$\frac{{\delta }^4{v}_z}{\delta x^4}+2\frac{{\delta }^4{v}_z}{\delta x^2\delta y^2}+\frac{{\delta }^4{v}_z}{\delta y^4}=\frac{p}{B}\to 5^4{v}_z=\frac{p}{B}$

Template:Todo Sostituendo e derivando opportunamente i termini si ottiene infine:

$f=\frac{p}{8B}\frac{a^2{b}^2}{3a^4+2a^2{b}^2+3b^4}$

Dal momento che si è definita completamente l'equazione della superficie elastica, è possibile calcolare tutto della piastra. I momenti cui è sottoposta sono pari a:

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& M_x=4Bf[(\frac{1}{a^2}-\frac{3x^2}{a^4}-\frac{y^2}{a^2{b}^2})+\nu (\frac{1}{b^2}-\frac{3y^2}{b^4}-\frac{x^2}{a^2{b}^2})]\\ & M_y=4Bf[(\frac{1}{b^2}-\frac{3y^2}{b^4}-\frac{x^2}{a^2{b}^2})+\nu (\frac{1}{a^2}-\frac{3x^2}{a^4}-\frac{y^2}{a^2{b}^2})]\\ & M_{xy}=-(1-\nu )\frac{8Bf}{a^2{b}^2}xy\end{array}\end{array}$

Si può dimostrare che i momenti flettenti massimi sono quelli agenti in corrispondenza dell'estremità del semiasse minore, e cioè per $x=a,y=0$, dove assume valore:

$M_x=-\frac{8Bf}{a^2}$