Le Frazioni Algebriche (superiori)

Definizione di frazione algebrica

Diamo la seguente definizione:

DEFINIZIONE 1. Si definisce frazione algebrica un’espressione del tipo $\frac{A}{B}$ dove $A$ e $B$ sono polinomi.

Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.

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ESEMPIO 1. Determinare il quoziente tra $m_1=5a^3{b}^2{c}^5$ e $m_2=-3a^{2}b{c}^5$.

Questa operazione si esegue applicando, sulla parte letterale, le proprietà delle potenze e sul coefficiente la divisione tra numeri razionali: $q=5a^3{b}^2{c}^5:(-3a^{2}b{c}^5)=-\frac{5}{3}ab$. Il quoziente è quindi un monomio.

ESEMPIO 2. Determinare il quoziente tra $m_1=5a^3{b}^2{c}^5$ e $m_2=-3a^{7}b{c}^5$.

In questo caso l’esponente della $a$ nel dividendo è minore dell’esponente della stessa variabile nel divisore quindi si ottiene $q_1=5a^3{b}^2{c}^5:(-3a^{7}b{c}^5)=-\frac{5}{3}{a}^{-4}b$.

Questo non è un monomio per la presenza dell’esponente negativo alla variabile $a$. Quindi: $q_1=5a^3{b}^2{c}^5:(-3a^{7}b{c}^5)=\frac{5b}{3a^4}$. Il quoziente è una frazione algebrica.

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Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi, si presentano diversi casi.

Caso I  Monomio diviso un polinomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b$ e $d=a^2+b$.

Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha come risultato un polinomio ma una frazione. $q=2a^{3}b:(a^2+b)=\frac{2a^{3}b}{a^2+b}$.

Caso II  Un polinomio diviso un monomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2$ e $d=\frac{1}{2}ab$.

$q=(2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2):\left(\frac{1}{2}ab\right)=4a^2+2a^4{b}^2-6b$. Il quoziente è un polinomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2$ e $d=\frac{1}{2}{a}^{5}b$.

Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà $q=(2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2):\left(\frac{1}{2}{a}^{5}b\right)=\frac{4}{a^2}+2b^2-\frac{6b}{a^4}$. Il quoziente è una somma di frazioni algebriche.

Caso III  Un polinomio diviso un altro polinomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=x-3$ e $d=x^2+1$.

La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto. Il quoziente è la frazione algebrica $q=\frac{x-3}{x^2+1}$.

Conclusione  Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tra due polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.

Condizioni di esistenza per una frazione algebrica

Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuiti alle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per $0$, una frazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono il denominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo $\frac{A}{B}$ poniamo sempre la condizione di esistenza (abbreviato con $\text{C.E.}$): $B\ne 0$.

La determinazione della condizione di esistenza richiede una conoscenza dei metodi per risolvere le equazioni, argomento che verrà sviluppato nei prossimi capitoli.

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ESEMPIO 3. Determinare le condizioni di esistenza di $\frac{1+x}{x}$.

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: $\text{C.E.}x\ne 0$.

ESEMPIO 4. Determinare le condizioni di esistenza di $\frac{x}{x+3}$.

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: $\text{C.E.}x-3\ne 0\Rightarrow x\ne -3$.

ESEMPIO 5. Determinare le condizioni di esistenza di $\frac{3a+5b-7}{ab}$.

$\text{C.E.}ab\ne 0$. Sappiamo che un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo, dunque affinché il denominatore non si annulli non si deve annullare né $a$ né $b$, quindi $a\ne 0$ e $b\ne 0$. Concludendo, $\text{C.E.}a\ne 0\wedge b\ne 0$.

ESEMPIO 6. Determinare le condizioni di esistenza di $\frac{-6}{2x+5}$.

$\text{C.E.}2x+5\ne 0$, per risolvere questa disuguaglianza si procede come per le usuali equazioni: $2x+5\ne 0\Rightarrow 2x\ne -5\Rightarrow x\ne -\frac{5}{2}$ si può concludere $\text{C.E.}x\ne -\frac{5}{2}$.

ESEMPIO 7. Determinare le condizioni di esistenza di $\frac{-x^3-8x}{x^2+2}$.

$\text{C.E.}{x}^2+2\ne 0$, il binomio è sempre maggiore di $0$ perché somma di due grandezze positive. Pertanto la condizione $x^2+2\ne 0$ è sempre verificata e la frazione esiste sempre. Scriveremo $\text{C.E.}\mathrm{\forall }x\in ℝ$ (si legge “per ogni $x$ appartenente a $ℝ$” o “qualunque $x$ appartenente a $ℝ$”).

ESEMPIO 8. Determinare le condizioni di esistenza di $\frac{2x}{x^2-4}$.

$\text{C.E.}{x}^2-4\ne 0$; per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere $x^2=4$ e questo si verifica se $x=+2$ oppure se $x=-2$; possiamo anche osservare che il denominatore è una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere come $\text{C.E.}(x-2)(x+2)\ne 0$, essendo un prodotto possiamo scrivere $\text{C.E.}x-2\ne 0\wedge x+2\ne 0$ e concludere: $\text{C.E.}x\ne 2\wedge x\ne -2$.

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PROCEDURA 1. Determinare la condizione di esistenza di una frazione algebrica:

1. porre il denominatore della frazione diverso da zero;
2. scomporre in fattori il denominatore;
3. porre ciascun fattore del denominatore diverso da zero;
4. escludere i valori che annullano il denominatore.

Semplificazione di una frazione algebrica

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da zero. In questo modo, infatti, la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione ottenuta è equivalente a quella data. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro $\text{MCD}$ che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo così una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamo porre attenzione a escludere quei valori che, attribuiti alle variabili, rendono nullo il $\text{MCD}$.

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ESEMPIO 9. Semplificare $\frac{16x^3{y}^{2}z}{10x{y}^2}$.

$\text{C.E.}x{y}^2\ne 0\to x\ne 0\wedge y\ne 0$. Puoi semplificare la parte numerica. Per semplificare la parte letterale applica la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze con la stessa base: $x^3:x=x^{3-1}=x^2$ e $y^2:y^2=1$. Quindi: $\frac{16x^3{y}^{2}z}{10x{y}^2}=\frac{8x^{2}z}{5}=\frac{8}{5}{x}^{2}z.$

ESEMPIO 10. Ridurre ai minimi termini la frazione: $\frac{a^2-6a+9}{a^4-81}$.

• Scomponiamo in fattori
  • il numeratore: $a^2-6a+9=(a-3{)}^2$;
  • il denominatore: $a^4-81=(a^2-9)(a^2+9)=(a-3)(a+3)(a^2+9)$;
• riscriviamo la frazione $\frac{{(a-3)}^2}{(a-3)\cdot (a+3)\cdot (a^2+9)}$;
• $\text{C.E.}(a-3)\cdot (a+3)\cdot (a^2+9)\ne 0$ da cui $\text{C.E.}a\ne +3$ e $a\ne -3$, il terzo fattore non si annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;
• semplifichiamo: $\frac{(a-3{)}^{\cancel{2}}}{\cancel{(a-3)}\cdot (a+3)\cdot (a^2+9)}=\frac{a-3}{(a+3)(a^2+9)}$.

ESEMPIO 11. Ridurre ai minimi termini la frazione in due variabili: $\frac{x^4+x^2{y}^2-x^{3}y-x{y}^3}{x^4-x^2{y}^2+x^{3}y-x{y}^3}$.

• Scomponiamo in fattori
  • $x^4+x^2{y}^2-x^{3}y-x{y}^3=x^2(x^2+y^2)-xy(x^2+y^2)=x(x^2+y^2)(x-y)$;
  • $x^4-x^2{y}^2+x^{3}y-x{y}^3=x^2(x^2-y^2)+xy(x^2-y^2)=x(x+y{)}^2(x-y)$;
• la frazione diventa: $\frac{x^4+x^2{y}^2-x^{3}y-x{y}^3}{x^4-x^2{y}^2+x^{3}y-x{y}^3}=\frac{x(x^2+y^2)(x-y)}{x(x+y{)}^2(x-y)}$;
• $\text{C.E.}x\cdot (x+y{)}^2\cdot (x^2+y^2)\ne 0$ cioè $\text{C.E.}x\ne 0\wedge x\ne -y$;
• semplifichiamo i fattori uguali: $\frac{\cancel{x}(x^2+y^2)\cancel{(x-y)}}{\cancel{x}(x+y{)}^2\cancel{(x-y)}}=\frac{x^2+y^2}{(x+y{)}^2}$.

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Le seguenti semplificazioni sono errate.

• $\frac{\cancel{a}+b}{\cancel{a}}$ questa semplificazione è errata perché $a$ e $b$ sono addendi, non sono fattori;
• $\frac{\cancel{x^2}+x+4}{\cancel{x^2}+2}$ questa semplificazione è errata perché $x^2$ è un addendo, non un fattore;
• $\frac{x^{\cancel{2}}+y^{\cancel{2}}}{(x+y{)}^{\cancel{2}}}=1$,$\frac{\cancel{3a}(a-2)}{\cancel{3a}x-7}=\frac{a-2}{x-7}$, $\frac{\cancel{(x-y^2)}\cancel{(a-b)}}{\cancel{(y^2-x)}\cancel{(a-b)}}=1$;
• $\frac{\cancel{(2x-3y)}}{(3y-2x{)}^{\cancel{2}}}=\frac{1}{3y-2x}$,$\frac{a^2+ab}{a^3}=\frac{\cancel{a}(a+b)}{a^{\cancel{3}2}}=\frac{\cancel{a}+b}{a^{\cancel{2}}}=\frac{1+b}{a}$.

Moltiplicazione di frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Si vuole determinare il prodotto $p=\frac{7}{15}\cdot \frac{20}{21}$; possiamo scrivere prima il risultato dei prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta: $p=\frac{7}{15}\cdot \frac{20}{21}=\frac{{\cancel{140}}^4}{{\cancel{315}}^9}=\frac{4}{9}$, oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi moltiplicare: $p=\frac{7}{15}\cdot \frac{20}{21}=\frac{{\cancel{7}}^1}{{\cancel{15}}^3}\cdot \frac{{\cancel{20}}^4}{{\cancel{21}}^3}=\frac{4}{9}$.

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ESEMPIO 12. Prodotto delle frazioni algebriche $f_1=-\frac{3a^2}{10b^3{c}^4}$ e $f_2=\frac{25a{b}^2{c}^7}{ab}$.

Poniamo le $\text{C.E.}$ per ciascuna frazione assegnata ricordando che tutti i fattori letterali dei denominatori devono essere diversi da zero, quindi $\text{C.E.}a\ne 0\wedge b\ne 0\wedge c\ne 0$. Il prodotto è la frazione $f=-\frac{3a^2}{10b^3{c}^4}\cdot \frac{25a{b}^2{c}^7}{ab}=-\frac{15a^2{c}^3}{2b^2}$.

ESEMPIO 13. Prodotto delle frazioni algebriche $f_1=-d\frac{3a}{2b+1}$ e $f_2=\frac{10b}{a-3}$.

L’espressione è in due variabili, i denominatori sono polinomi di primo grado irriducibili; poniamo le condizioni di esistenza: $\text{C.E.}2b+1\ne 0\wedge a-3\ne 0$ dunque $\text{C.E.}b\ne -\frac{1}{2}\wedge a\ne 3$. Il prodotto è la frazione $f=-\frac{3a}{2b+1}\cdot \frac{10b}{a-3}=-\frac{30ab}{(2b+1)(a-3)}$ in cui non è possibile alcuna semplificazione.

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OSSERVAZIONE. $f=-\frac{3\cancel{a}}{2\cancel{b}+1}\cdot \frac{10\cancel{b}}{\cancel{a}-3}$. Questa semplificazione contiene errori in quanto la variabile $a$ è un fattore del numeratore ma è un addendo nel denominatore; analogamente la variabile $b$.

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ESEMPIO 14. Prodotto delle frazioni algebriche in cui numeratori e denominatori sono polinomi $f_1=\frac{2x^2-x}{x^2-3x+2}$ e $f_2=\frac{5x-5}{x-4x^2+4x^3}$.

• Scomponiamo in fattori tutti i denominatori (servirà per la determinazione delle $\text{C.E.}$) e tutti i numeratori (servirà per le eventuali semplificazioni)
  • $f_1=\frac{2x^2-x}{x^2-3x+2}=\frac{x\cdot (2x-1)}{(x-1)\cdot (x-2)}$,
  • $f_2=\frac{5x-5}{x-4x^2+4x^3}=\frac{5\cdot (x-1)}{x\cdot (2x-1{)}^2}$;
• poniamo le $\text{C.E.}$ ricordando che tutti i fattori dei denominatori devono essere diversi da zero: $\text{C.E.}x-1\ne 0\wedge x-2\ne 0\wedge x\ne 0\wedge 2x-1\ne 0$ da cui $\text{C.E.}x\ne 1\wedge x\ne 2\wedge x\ne 0\wedge x\ne \frac{1}{2}$;
• determiniamo la frazione prodotto, effettuando le eventuali semplificazioni:
  • $f=\frac{\cancel{x}\cdot \cancel{(2x-1)}}{\cancel{(x-1)}\cdot (x-2)}\cdot \frac{5\cdot \cancel{(x-1)}}{\cancel{x}\cdot (2x-1{)}^{\cancel{2}}}=\frac{5}{(x-2)(2x-1)}$.

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Potenza di una frazione algebrica

La potenza di esponente $n$, naturale diverso da zero, della frazione algebrica $\frac{A}{B}$ con $B\ne 0$ ($\text{C.E.}$) è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente $n$ del numeratore e per denominatore la potenza di esponente $n$ del denominatore: ${\left(\frac{A}{B}\right)}^n=\frac{A^n}{B^n}$.

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ESEMPIO 15. Calcoliamo ${\left(\frac{x-2}{x^2-1}\right)}^3$.

Innanzi tutto determiniamo le $\text{C.E.}$ per la frazione assegnata

$\frac{x-2}{x^2-1}=\frac{x-2}{(x-1)\cdot (x+1)}\Rightarrow (x-1)\cdot (x+1)\ne 0\text{,}$ da cui $\text{C.E.}x\ne 1\wedge x\ne -1$. Dunque si ha ${\left(\frac{x-2}{x^2-1}\right)}^3=\frac{(x-2{)}^3}{(x-1{)}^3\cdot (x+1{)}^3}.$

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Casi particolari dell’esponente

Se $n=0$ sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a $1$; lo stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla. ${\left(\frac{A}{B}\right)}^0=1$ con $A\ne 0$ e $B\ne 0$.

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ESEMPIO 16. Quali condizioni deve rispettare la variabile $a$ per avere ${\left(\frac{3a-2}{5a^2+10a}\right)}^0=1$?

• Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore della frazione: ${\left(\frac{3a-2}{5a\cdot (a+2)}\right)}^0$;
• determiniamo le $\text{C.E.}$ del denominatore: $a\ne 0\wedge a+2\ne 0$ da cui, $\text{C.E.}a\ne 0\wedge a\ne -2$. Poniamo poi la condizione, affinché la frazione non sia nulla, che anche il numeratore sia diverso da zero. Indichiamo con $C_0$ questa condizione, dunque $C_0$: $3a-2\ne 0$, da cui $a\ne \frac{2}{3}$;
• le condizioni di esistenza sono allora $a\ne -2\wedge a\ne 0\wedge a\ne \frac{2}{3}$.

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Se $n$ è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente. ${\left(\frac{A}{B}\right)}^{-n}={\left(\frac{B}{A}\right)}^{+n}$ con $A\ne 0$ e $B\ne 0$.

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ESEMPIO 17. Determinare ${\left(\frac{x^2+5x+6}{x^3+x}\right)}^{-2}$.

• Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore: ${\left(\frac{(x+2)\cdot (x+3)}{x\cdot (x^2+1)}\right)}^{-2}$;
• $\text{C.E.}$ del denominatore $x\ne 0$ e $x^2+1\ne 0$ da cui $\text{C.E.}x\ne 0$ essendo l’altro fattore sempre diverso da 0. Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla e cioè che anche il numeratore sia diverso da zero, quindi si deve avere $C_0:(x+2)\cdot (x+3)\ne 0$ da cui $C_0:x\ne -2$ e $x\ne -3$;
• quindi se $x\ne 0$, $x\ne -2$ e $x\ne -3$ si ha ${\left(\frac{(x+2)\cdot (x+3)}{x\cdot (x^2+1)}\right)}^{-2}=\frac{x^2\cdot {(x^2+1)}^2}{(x+2{)}^2\cdot (x+3{)}^2}$.

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Divisione di frazioni algebriche

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inverso della seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del resto abbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali:

$\frac{m}{n}:\frac{p}{q}=\frac{m}{n}\cdot \frac{q}{p}=\frac{m\cdot q}{n\cdot p}.$

Si vuole determinare il quoziente $q=\frac{5}{12}:\frac{7}{4}$. L’inverso di $\frac{7}{4}$ è la frazione $\frac{4}{7}$, dunque

$q=\frac{5}{12}:\frac{7}{4}=\frac{5}{{\cancel{12}}^3}\cdot \frac{{\cancel{4}}^1}{7}=\frac{5}{21}.$

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ESEMPIO 18. Determinare il quoziente delle frazioni algebriche $f_1=\frac{3a-3b}{2a^{2}b}$ e $f_2=\frac{a^2-ab}{b^2}$.

• Scomponiamo in fattori le due frazioni algebriche: $f_1=\frac{3a-3b}{2a^{2}b}=\frac{3\cdot (a-b)}{2a^{2}b}\text{e}{f}_2=\frac{a^2-ab}{b^2}=\frac{a\cdot (a-b)}{b^2}\text{;}$
• poniamo le condizioni di esistenza dei denominatori: $2a^{2}b\ne 0\wedge b^2\ne 0$ da cui $\text{C.E.}$ $a\ne 0\wedge b\ne 0$;
• determiniamo la frazione inversa di $f_2$. Per poter determinare l’inverso dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla. Poniamo il numeratore diverso da zero, $C_0:a\ne 0\wedge a-b\ne 0$ da cui $C_0:a\ne 0\wedge a\ne b$;
• aggiorniamo le condizioni $\text{C.E.}a\ne 0\wedge b\ne 0\wedge a\ne b$;
• cambiamo la divisione in moltiplicazione e semplifichiamo: $\frac{3\cdot (a-b)}{2a^{2}b}:\frac{a\cdot (a-b)}{b^2}=\frac{3\cdot \cancel{(a-b)}}{2a^2\cancel{b}}\cdot \frac{b^{\cancel{2}}}{a\cdot \cancel{(a-b)}}=\frac{3b}{2a^3}.$

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Addizione di frazioni algebriche

Proprietà della addizione tra frazioni algebriche

Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:

• è commutativa: $f_1+f_2=f_2+f_1$;
• è associativa: $(f_1+f_2)+f_3=f_1+(f_2+f_3)=f_1+f_2+f_3$;
• possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione $F^0$ tale che per qualunque frazione $f$ si abbia $F^0+f=f+F^0=f$ cioè $F^0=0$;
• elemento inverso: per ogni frazione algebrica $f$ esiste la frazione opposta $(-f)$ tale che $(-f)+f=f+(-f)=F^0=0.$

Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizione e di sottrazione con la somma algebrica, come abbiamo fatto tra numeri relativi; $(+1)+(-2)$ omettendo il segno di addizione “$+$” e togliendo le parentesi diventa $1-2$; $(+1)-(-2)$ omettendo il segno di sottrazione “$-$” e togliendo le parentesi diventa $1+2$. Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.

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ESEMPIO 19. Le frazioni $\frac{2x-3y}{x+y}+\frac{x+2y}{x+y}$ hanno lo stesso denominatore.

Poniamo le $\text{C.E.}$ $x+y\ne 0$ da cui $\text{C.E.}x\ne -y$, quindi

$\frac{2x-3y}{x+y}+\frac{x+2y}{x+y}=\frac{(2x-3y)+(x+2y)}{x+y}=\frac{3x-y}{x+y}.$

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OSSERVAZIONE. A questo caso ci si può sempre ricondurre trasformando le frazioni in maniera che abbiamo lo stesso denominatore. Si potrebbe scegliere un qualunque denominatore comune, ad esempio il prodotto di tutti i denominatori ma per semplificare i calcoli scegliamo il $\text{mcm}$ dei denominatori delle frazioni addendi.

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ESEMPIO 20. $\frac{x+y}{3x^{2}y}-\frac{2y-x}{2x{y}^3}$.

Dobbiamo trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:

• calcoliamo il $\text{mcm}(3x^{2}y\text{, }2x{y}^3)=6x^2{y}^3$;
• poniamo le $\text{C.E.}$ $6x^2{y}^3\ne 0$ da cui $\text{C.E.}x\ne 0$ e $y\ne 0$;
• dividiamo il $\text{mcm}$ per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore: $\frac{2y^2\cdot (x+y)}{6x^2{y}^3}-\frac{3x\cdot (2y-x)}{6x^2{y}^3};$
• la frazione somma ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori: $\frac{2y^2\cdot (x+y)}{6x^2{y}^3}-\frac{3x\cdot (2y-x)}{6x^2{y}^3}=\frac{2x{y}^2+2y^3+2x^{2}y-6xy+3x^2}{6x^2{y}^3}.$

ESEMPIO 21. $\frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{x-2}{2x+x^2}+\frac{-4x}{x^2-4}$.

• Scomponiamo in fattori i denominatori: $\frac{x+2}{x(x-2)}-\frac{x-2}{x(2+x)}+\frac{-4x}{(x+2)(x-2)}\text{,}$

il $\text{mcm}$ è $x\cdot (x+2)\cdot (x-2)$;

• poniamo le $\text{C.E.}$ $x(x+2)(x-2)\ne 0$ da cui $\text{C.E.}$ $x\ne 0$, $x\ne 2$ e $x\ne -2$;
• dividiamo il $\text{mcm}$ per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore: $\frac{(x+2{)}^2-(x-2{)}^2-4x^2}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)};$
• eseguiamo le operazioni al numeratore: $\frac{x^2+4x+4-x^2+4x-4-4x^2}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}=\frac{8x-4x^2}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)};$
• semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore: $\frac{-4\cancel{x}\cdot \cancel{(x-2)}}{\cancel{x}\cdot (x+2)\cdot \cancel{(x-2)}}=\frac{-4}{x+2}.$

ESEMPIO 22. $\frac{x}{x-2}-\frac{2x}{x+1}+\frac{x}{x-1}-\frac{5x^2-7}{x^3-2x^2+2-x}$.

• Scomponiamo in fattori $x^3-2x^2+2-x$, essendo gli altri denominatori irriducibili: $x^3-2x^2+2-x=x^2(x-2)-1(x-2)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)$ che è anche il $\text{mcm}$ dei denominatori;
• poniamo le $\text{C.E.}$ $(x-2)(x+1)(x-1)\ne 0$ da cui $\text{C.E.}$ $x\ne 2$, $x\ne -1$ e $x\ne 1$;
• dividiamo il $\text{mcm}$ per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore: $\frac{x(x+1)(x-1)-2x(x-2)(x-1)+x(x-2)(x+1)-(5x^2-7)}{(x-2)(x+1)(x-1)};$
• eseguiamo le operazioni al numeratore: $\frac{\dots \dots \dots }{(x-2)(x+1)(x-1)};$
• semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore. La frazione somma è: $-\frac{7}{(x-2)(x+1)}.$

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