Esercitazione 10a (analisi matematica)

In questa esercitazione verranno presentati degli esercizi svolti sul metodo della variazione delle costanti di Lagrange per la ricerca di soluzioni particolari di equazioni differenziali dell'ordine $n$ della forma

$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=g(x)$

ossia equazioni differenziali lineari non omogenee. Negli esercizi seguenti si chiede di trovare di trovare un integrale particolare delle equazioni differenziali date, ovviamente una volta trovata la soluzione particolare $\overline{y}(x)$ sommandola alla soluzione dell'omogenea $\tilde{y}(x)$ si otterrà la soluzione completa dell'equazione differenziale non omogenea

$y(x)=\tilde{y}(x)+\overline{y}(x)$

Equazioni differenziali di ordine 2

• $y^{″}+y=\frac{1}{\sin (x)}$
  $[\overline{y}(x)=-x\cos (x)+\sin (x)\cdot \ln (|\sin (x)|)]$

• $y^{″}+3y^{\prime }+2y=\ln (1+e^x)$
  $[\overline{y}(x)=e^{-x}\ln (1+e^x)+\frac{1}{2}\ln (1+e^x)+\frac{e^{-2x}}{2}\ln (1+e^x)-\frac{e^x}{2}-\frac{3}{4}]$