Moto rotatorio

Moto Rotatorio

Per moto rotatorio si intende quel moto durante il quale tutti i punti del corpo si muovono descrivendo una circonferenza attorno ad un asse di rotazione di distanza $r$.

Grandezze Angolari

Per indicare di quanto ha ruotato un corpo, utilizziamo un angolo $\theta$ misurato in radianti. Si definisce radiante quell'angolo il cui arco sotteso $l$ ha lunghezza uguale al raggio.

Dunque se $\theta =\frac{l}{r}=1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$, in generale vale appunto

$\theta =\frac{l}{r}$.

Dato lo spostamento angolare ${\mathrm{\Delta }}_{\theta }={\theta }_2-{\theta }_1$, definiamo la velocità angolare nel modo consueto, cioè

$\omega =\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\theta }}{{\mathrm{\Delta }}_t}$

misurata in radianti al secondo.

Similmente definiamo l' accelerazione angolare come rapporto tra la variazione di velocità (angolare) e il tempo necessario, cioè

$\alpha =\frac{{\mathrm{\Delta }}_w}{{\mathrm{\Delta }}_t}$.

Ricordiamo però che ciascuna particella del corpo in rotazione ha la medesima velocità angolare, ma la velocità lineare e l'accelerazione lineare varia a seconda della distanza dal centro. La Velocità lineare è data da

$v=\frac{{\mathrm{\Delta }}_l}{{\mathrm{\Delta }}_t}=r\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\theta }}{{\mathrm{\Delta }}_t}=r\omega$

e da questa relazione si vede come la velocità lineare sia proporzionale alla grandezza di $r$.

L'accelerazione lineare tangenziale (cioè quella che ha verso uguale alla tangente della circonferenza nel punto della particella in esame) è data da

$a_{\tan }=\frac{{\mathrm{\Delta }}_v}{{\mathrm{\Delta }}_t}=r\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\omega }}{{\mathrm{\Delta }}_t}$

e anche in questo caso è evidente la relazione con la lunghezza del raggio e l'accelerazione radiale l'abbiamo già vista come

$a_r=\frac{v^2}{r}=\frac{(rw{)}^2}{r}=w^{2}r$

anch'essa proporzionale al raggio.

Dunque, l'accelerazione lineare totale di una particella è data dalla somma vettoriale di queste due grandezze, cioè

$a=a_{\tan }+a_r$.

Equazioni del moto rotatorio

Ecco una tabella riassuntiva per le equazioni del moto, con il confronto tra quelle angolari e quelle lineari.

$\begin{array}{cc}𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐞& 𝐚𝐧𝐠𝐨𝐥𝐚𝐫𝐞\\ v=v_0+at& \omega ={\omega }_0+\alpha t\\ x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2& \theta ={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2\\ v^2=v_0^2+2ax& {\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \theta \\ v=\frac{v+v_0}{2}& \overline{\omega }=\frac{\omega +{\omega }_0}{2}\end{array}$