Omomorfismi tra gruppi

Omomorfismi di gruppi

In questa pagina introduciamo l’idea di omomorfismo, nel caso specifico dei gruppi.

Introduzione

Definizione di omomorfismo

Siano $(G,*),(G^{\prime },{*}^{\prime })$ due gruppi. Un *omomorfismo di gruppi* è una funzione $f:G\to G^{\prime }$ tale che:

$f(x*y)=f(x){*}^{\prime }f(y)\mathrm{\forall }x,y\in G$

In altre parole, un omomorfismo è una funzione che preserva l'operazione di gruppo.

Esempio

Consideriamo il gruppo additivo $(ℝ,+)$, il gruppo moltiplicativo $({ℝ}^{+},\cdot )$ e un elemento fissato $a\in {ℝ}^{+}$. Definiamo la funzione:

$f_a:ℝ\to {ℝ}^{+}$,

data da:

$f_a(x)=a^x\mathrm{\forall }x\in ℝ$

Verifichiamo che si tratta di un omomorfismo:

$f_a(x+y)=a^{x+y}=a^x\cdot a^y=f_a(x)f_a(y)$,

che soddisfa la proprietà di omomorfismo.

Proprietà di un omomorfismo

Se $f$ è un omomorfismo di gruppi tra $(G,\ast )$ e $(G^{\prime },{\ast }^{\prime })$, allora valgono le seguenti proprietà:

1. $f(e)=e^{\prime }$, dove $e$ ed $e^{\prime }$ sono gli elementi neutri di $G$ e $G^{\prime }$.
2. Per ogni $x\in G$, vale $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$.
3. Se $x$ ha ordine finito $n$ in $G$, allora l'elemento $f(x)$ in $G^{\prime }$ ha ordine che divide $n$.

Dimostrazione

Dimostriamo le proprietà elencate sopra.

1. L'immagine dell'elemento neutro è il neutro

Per la definizione di elemento neutro, sappiamo che:

$e=e\ast e.$

Applicando l'omomorfismo $f$ e utilizzando la sua proprietà di preservare l'operazione, otteniamo:

$f(e)=f(e\ast e)=f(e){\ast }^{\prime }f(e).$

Poiché $(G^{\prime },{\ast }^{\prime })$ è un gruppo, possiamo moltiplicare entrambi i membri per $f(e{)}^{-1}$, ottenendo:

$e^{\prime }=f(e).$

2. L'inverso viene preservato

Dal punto appena dimostrato, partiamo dalla relazione:

$e^{\prime }=f(e)=f(x\ast x^{-1}).$

Per la proprietà di omomorfismo:

$f(x\ast x^{-1})=f(x){\ast }^{\prime }f(x^{-1}).$

Ora, moltiplicando entrambi i membri per $f(x{)}^{-1}$, otteniamo:

$f(x{)}^{-1}=f(x^{-1}).$

3. L'ordine dell'immagine divide l'ordine dell'elemento

Se un elemento $x\in G$ ha ordine $n$, allora per definizione:

$x^n=e.$

Applicando l'omomorfismo $f$:

$f(x^n)=f(e).$

Per la proprietà di omomorfismo:

$f(x^n)=(f(x){)}^n.$

Dunque:

$(f(x){)}^n=e^{\prime }.$

Immagine e nucleo di un omomorfismo

Sia $f:G\to G^{\prime }$ un omomorfismo di gruppi.

• L'immagine di $f$ è l'insieme $\mathrm{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in G\}$, ed è un sottogruppo di $G^{\prime }$.
• Il nucleo di $f$ è definito come $\ker (f)=\{x\in G\mid f(x)=e^{\prime }\}$, dove $e^{\prime }$ è l'elemento neutro di $G^{\prime }$. Il nucleo è sempre un sottogruppo normale di $G$.

Omomorfismi e isomorfismi

Se un omomorfismo $f:G\to G^{\prime }$ è bigettivo, esso è detto *isomorfismo* e indica che $G$ e $G^{\prime }$ sono strutturalmente identici (isomorfi).