Forme bilineari

In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.

Forme bilineari

Inoltre $b$ si dice simmetrica se

$b(𝐯,𝐰)=b(𝐰,𝐯)$

mentre si dice antisimmetrica se

$b(𝐯,𝐰)=-b(𝐰,𝐯)$

sempre per ogni $𝐯𝐰\in V$.

Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.

1. La forma bilineare nulla $0(𝐯,𝐰)=0$ è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
2. Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia $A=(a_{ij})\in M_n(𝕂)$ e consideriamo i vettori colonna $𝐱,𝐲$, abbiamo
   $b(𝐱,𝐲)={}^t𝐱A𝐲=\sum _{i,j=1}^n{x}_i{a}_{ij}{y}_j\in 𝕂$
   Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
3. Se la matrice dell'esempio 2 $A=(a_{ij})\in M_n(𝕂)$ è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su $𝕂$ definita come

$b(𝐱,𝐲)={}^t𝐱\cdot 𝐲=\sum _{i,j=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\dots +x_n{y}_n\in 𝕂$

Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare. Template:Riquadro

Prodotti scalari

Teorema (Disuguaglianza di Schwarz)

Dimostrazione

Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.

Sia $𝐰$ un vettore combinazione lineare di ${𝐯}_1$ e ${𝐯}_2$, quindi $𝐰=x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2$. Per la definizione di prodotto scalare:

$0\le <𝐰,𝐰>=<x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2,x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2>=x_1^2<{𝐯}_1,{𝐯}_1>+2x_1{x}_2<{𝐯}_1,{𝐯}_2>+x_2^2<{𝐯}_2,{𝐯}_2>$.

Prendendo $𝐰$ tale che $x_1=<{𝐯}_2,{𝐯}_2>$ e $x_2=-<{𝐯}_1,{𝐯}_2>$ otteniamo al secondo membro

$<{𝐯}_2,{𝐯}_2{>}^2<{𝐯}_1,{𝐯}_1>-2<{𝐯}_2,{𝐯}_2><{𝐯}_1,{𝐯}_2{>}^2+<{𝐯}_1,{𝐯}_2{>}^2<{𝐯}_2,{𝐯}_2>$

.

Dividendo ambo i membri per $<{𝐯}_2,{𝐯}_2>$, che è strettamente positivo perché abbiamo supposto ${𝐯}_2$ non nullo, otteniamo

$0\le <{𝐯}_2,{𝐯}_2><{𝐯}_1,{𝐯}_1>-<{𝐯}_1,{𝐯}_2{>}^2⟺<{𝐯}_1,{𝐯}_2{>}^2\le <{𝐯}_2,{𝐯}_2><{𝐯}_1,{𝐯}_1>$

L'eguaglianza vale se e solo se:

$𝐰=x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2=<{𝐯}_2,{𝐯}_2>{𝐯}_1-<{𝐯}_1,{𝐯}_2>{𝐯}_2=0$

, cioè

${𝐯}_1$

e

${𝐯}_2$

sono linearmente dipendenti.

$◻$

Norma di un vettore

Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come $|<𝐯,𝐰>|\le ||𝐯||||𝐰||$. La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:

1. $||𝐯||\ge 0,𝐯\ne 0$
2. $||x𝐯||=|x|||𝐯||,\mathrm{\forall }x\in 𝕂$
3. $||𝐯+𝐰||\le ||𝐯||+||𝐰||$ e vale l'uguaglianza se e solo se $𝐯$ e $𝐰$ sono paralleli.

La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:

$||𝐯+𝐰|{|}^2=<𝐯+𝐰,𝐯+𝐰>=||𝐯|{|}^2+2<𝐯,𝐰>+||𝐰|{|}^2\le ||𝐯|{|}^2+2||𝐯||||𝐰||+||𝐰|{|}^2=(||𝐯||+||𝐰||{)}^2$$\iff ||𝐯+𝐰||\le ||𝐯||+||𝐰||$

$◻$

Vettori e insiemi ortogonali

Due vettori $𝐯,𝐰\in V$ si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se $<𝐯,𝐰>=0$.

Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.

Lemma

Dimostrazione

1. Basta dimostrare che se due vettori non nulli sono ortogonali, allora sono indipendenti.

Siano ${𝐯}_1$ e ${𝐯}_2$ due vettori non nulli, e tali che $<{𝐯}_1,{𝐯}_2>=0$. Sia $𝐰$ un qualunque vettore combinazione lineare di ${𝐯}_1$ e ${𝐯}_2$, ossia $𝐰=x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2$.

Devo dimostrare che $𝐰=0$ implica che $x_1=x_2=0$.

Sia $0=𝐰=x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2$. Allora deve succedere che

$0=<𝐰,𝐰>=<x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2,x_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2>=x_1^2<{𝐯}_1,{𝐯}_1>+x_2^2<{𝐯}_2,{𝐯}_2>+2x_1{x}_2<{𝐯}_1,{𝐯}_2>=x_1^2<{𝐯}_1,{𝐯}_1>+x_2^2<{𝐯}_2,{𝐯}_2>$

Quindi $x_1^2<{𝐯}_1,{𝐯}_1>=-x_2^2<{𝐯}_2,{𝐯}_2>$.

I due vettori sono non nulli, quindi i due prodotti scalari sono positivi, e quindi, affinché l'eguaglianza valga, deve essere che $x_1^2$ e $x_2^2$ devono essere nulli, da cui segue la tesi.

2. Dalla 1. segue che un insieme di $n$ vettori indipendenti in uno spazio $V$ di dimensione $n$ è una base.

3. Fissiamo un indice $j\in \{1,\dots ,n\}$, e sia ${𝐰}_j$ un vettore della base ortogonale. Prendiamo un vettore $𝐯\in V$, e sia ${𝐯}^{\prime }$ il vettore definito nell'enunciato. Ecco cosa succede:

$<{𝐰}_j,{𝐯}^{\prime }>=<{𝐰}_j,𝐯>-<{𝐰}_j,\sum _{i=1}^n\frac{<𝐯,{𝐰}_i>}{<{𝐰}_i,{𝐰}_i>}{𝐰}_i>=<{𝐰}_j,𝐯>-\sum _{i=1}^n\frac{<𝐯,{𝐰}_i>}{<{𝐰}_i,{𝐰}_i>}<{𝐰}_j,{𝐰}_i>$

Visto che stiamo in una base ortogonale, $<{𝐰}_j,{𝐰}_i>=0,\mathrm{\forall }i\ne j$, e quindi la sommatoria si riduce al termine $\frac{<𝐯,{𝐰}_j>}{<{𝐰}_j,{𝐰}_j>}<{𝐰}_j,{𝐰}_j>=<𝐯,{𝐰}_j>$.

In definitiva: $<{𝐰}_j,{𝐯}^{\prime }>=<{𝐰}_j,𝐯>-<𝐯,{𝐰}_j>=0$.

Tutto ciò è vero, qualunque sia

$𝐯$

e qualunque sia

$j$

, ossia la tesi.

$◻$

Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Dimostrazione

Osserviamo che ${𝐰}_i\in ℒ({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_i),\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$ e che ogni ${𝐰}_i$ è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche ${𝐰}_p$ fosse nullo, avremmo

${𝐰}_p={𝐯}_p-\sum _{i=1}^{n-1}\frac{<{𝐯}_p,{𝐰}_i>}{<{𝐰}_i,{𝐰}_i>}{𝐰}_i\iff {𝐯}_p=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{<{𝐯}_p,{𝐰}_i>}{<{𝐰}_i,{𝐰}_i>}{𝐰}_i\in ℒ({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_{n-1})$ e questo contraddice l'ipotesi che $B$ sia una base.

Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni ${𝐰}_p$ è ortogonale al vettore ${𝐰}_{p-1}$ che lo precede nella n-upla $O$, dunque $O$ è un insieme ortogonale.

Sempre per il Lemma deduciamo che i

${𝐰}_i$

sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.

$◻$

Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.

Proposizione (esistenza di una base ortonormale)

Dimostrazione

$<{𝐮}_r,{𝐮}_s>=<\frac{1}{||{𝐯}_s||}{𝐯}_s,\frac{1}{||{𝐯}_r||}{𝐯}_r>=\frac{1}{||{𝐯}_r||||{𝐯}_s||}<{𝐯}_r,{𝐯}_s>=\{\begin{array}{c}1,r=s\\ 0,r\ne s\end{array}$

Dunque tutti i vettori ${𝐮}_i$ sono ortonormali.

$◻$

Esempi

1. Sia $(V,<,>)$ di dimensione 4 e sia $\{{𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3,{𝐞}_4\}$ una base di $V$ ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori

${𝐯}_1=(0,1,0,1),{𝐯}_2=(2,1,0,1),{𝐯}_3=(-1,0,0,1),{𝐯}_4=(0,0,1,0)$

.

Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.

${𝐰}_1={𝐯}_1$

${𝐰}_2={𝐯}_2-\frac{<{𝐰}_1,{𝐰}_2>}{<{𝐰}_1,{𝐰}_1>}{𝐰}_1={𝐯}_2-\frac{2}{2}{𝐰}_1={𝐯}_2-{𝐯}_1=2{𝐞}_1$

${𝐰}_3={𝐯}_3-\sum _{i=1}^2\frac{<{𝐯}_3,{𝐰}_i>}{<{𝐰}_i,{𝐰}_i>}{𝐰}_i=$${𝐯}_3-\frac{<{𝐯}_3,{𝐯}_1>}{<{𝐯}_1,{𝐯}_1>}{𝐯}_1-\frac{<{𝐯}_3,2{𝐞}_1>}{<2{𝐞}_1,2{𝐞}_1>}2{𝐞}_1=$${𝐯}_3-\frac{1}{2}{𝐯}_1-\frac{-2}{4}2{𝐞}_1=-\frac{1}{2}{𝐞}_2+\frac{1}{2}{𝐞}_4$

${𝐰}_4={𝐯}_4-\sum _{i=1}^3\frac{<{𝐯}_4,{𝐰}_i>}{<{𝐰}_i,{𝐰}_i>}{𝐰}_i=\dots ={𝐯}_4$

Dunque $((0,1,0,1),2{𝐞}_1,-\frac{1}{2}{𝐞}_2+\frac{1}{2}{𝐞}_4,(0,0,1,0))$ è una base ortogonale di $V$.

Proposizione

Dimostrazione

$<𝐯,𝐰>=<\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐮}_i,\sum _{j=1}^n{y}_j{𝐮}_j>=\sum _{i\ne j=1}^n{x}_i{y}_j<{𝐮}_i,{𝐮}_j>+\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i<{𝐮}_i,{𝐮}_i>=0+\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$

$◻$