Numeri reali (seconda parte)

Proprietà di $ℝ$

1. $(ℝ,+,\cdot ,\le )$ è un campo commutativo e totalmente ordinato.
2. $(ℝ,\le )$ è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato $A\subseteq ℝ$, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assoluto

Sia $x\in ℝ$. Si definisce il valore assoluto (o modulo) di $x$ il numero reale $|x|=\max \{x,-x\}$.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

Dimostrazione

La 1 segue dal fatto che $\{x;-x\}$ contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di $\{x;-x\}$, si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione $\max \{x;-x\}=|x|\ge 0$.

La 2 segue dal fatto che $|x|$ è il massimo dell'insieme $\{x;-x\}$, mentre la 3 è facile da verificare.

Si dimostra la 4. Se $x\ge 0$, allora $|x|=x\le m$, mentre se $x<0$, allora $|x|=-x\le m$, da cui $x\ge -m$ . In conclusione $-m\le x\le m$. La 4 vale anche se si sostituiscono $\le$ e $\ge$ con rispettivamente $<$ e $>$. La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti $m=|x|$.

Si dimostra la 6. Se $x\ge 0$, allora $|x|=x\ge m$, mentre se $x<0$, allora $|x|=-x\ge m$, da cui $x\le -m$ . Concludendo $x\le -m\vee x\ge m$. La 6 vale anche se si sostituiscono $\ge$ e $\le$ con rispettivamente $>$ e $<$.

Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo $-|x|\le x\le |x|$ e $-|y|\le y\le |y|$, da cui sommando membro a membro si ha $-|x|-|y|=-(|x|+|y|)\le x+y\le |x|+|y|$. In conclusione per la proprietà 4

$|x+y|\le |x|+|y|$.

Parte intera

Sia $x\in ℝ$. Si definisce parte intera di $x$ il numero intero, denotato con $[x]$, tale che:

$[x]=\max \{p\in \mathbb{Z}|p\le x\}$.

Si può verificare facilmente che $\mathrm{\forall }x\in ℝ,[x]\le x<[x]+1$.

Mantissa

Sia $x\in ℝ$ e $[x]$ parte intera di $x$. Si definisce il mantissa di $x$ il numero reale, denotato con $(x)$, tale che:

$(x)=x-[x]$

Si può dimostrare facilmente che $\mathrm{\forall }x\in ℝ,0\le (x)<1$. Infatti sottraendo ai membri di $[x]\le x<[x]+1$ il numero $[x]$ ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa, $0\le (x)<1$.

Induzione matematica e insiemi induttivi

Un insieme $I\subseteq ℝ$ tale che

1. $1\in I$
2. $x\in I\Rightarrow x+1\in I$

si dice induttivo.

Insieme dei numeri naturali

Chiamiamo insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.

Facciamo notare che per definizione $\mathbb{N}$ è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.

Teorema (principio di induzione matematica)

Dimostrazione

Sia $M$ l'insieme degli $n\in \mathbb{N}$ per cui valgano le condizioni 1 e 2. $M$ è allora un insieme induttivo e quindi $\mathbb{N}\subseteq M$. D'altra parte si ha, per ipotesi, che $M\subseteq \mathbb{N}$. In conclusione $M=\mathbb{N}$.

Importanti considerazioni finali

Lemma

Dimostrazione del Lemma

Infatti, se lo fosse, per la completezza di $ℝ$ esisterebbe un reale $m$ tale che $m=\sup \mathbb{N}$. Però, siccome $m$ è il minore di tutti i maggioranti, $m-1$ non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno $n\in \mathbb{N}$ si ha che $m-1<n$ e dunque $m<n+1\in \mathbb{N}$ e abbiamo finito, perché l'ipotesi che $m$ sia un maggiorante è contraddetta.

Teorema (proprietà di Archimede)

Dimostrazione

Sia invece $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},nx\le y$. Dunque $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n\le \frac{y}{x}$ e quindi $\mathbb{N}$ è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.

Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali)

Dimostrazione

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che

$x<y$

da cui si evince facilmente che

$y-x>0$

. Essendo

$ℝ$

archimedeo, allora esisterà un

$n\in \mathbb{N}$

tale che

$n(y-x)>1\iff ny>nx+1$.

Ora notando che

$nx<[nx]+1\le nx+1$

si ha

$nx<[nx]+1<ny$.

Dividendo per

$n$

tutti i tre membri si ricava

$x<\frac{[nx]+1}{n}<y$

in cui $z=\frac{[nx]+1}{n}\in \mathbb{Q}$.

Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali)

Dimostrazione

Dall'ipotesi $x<y$ segue che $x-\sqrt{2}<y-\sqrt{2}$. Per il precedente teorema, esiste almeno un numero $q\in \mathbb{Q}$ tale che

$x-\sqrt{2}<q<y-\sqrt{2}$,

da cui, aggiungendo a tutti i membri $\sqrt{2}$,

$x<q+\sqrt{2}<y$.

Non è difficile verificare che $z=q+\sqrt{2}\in ℝ-\mathbb{Q}$.

Intervalli

Terminiamo con la seguente conclusione. Template:Riquadro

Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati $a<b$,

$(a;b):=\{x\in ℝ:a<x<b\}$,

$[a;b):=(a;b)\cup \left\{a\right\}$,

$(a;b]:=(a;b)\cup \left\{b\right\}$,

$[a;b]:=(a;b)\cup \{a;b\}$,

$(a;+\mathrm{\infty }):=\{x\in ℝ:x>a\}$,

$[a;+\mathrm{\infty }):=(a;+\mathrm{\infty })\cup \left\{a\right\}$,

$(-\mathrm{\infty };a):=\{x\in ℝ:x<a\}$,

$(-\mathrm{\infty };a]:=(-\mathrm{\infty };a)\cup \left\{a\right\}$.

Poniamo inoltre $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }):=ℝ$.