Concetti fondamentali di fisica quantistica

Concetti fondamentali

Funzione d'onda

Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda (a valori complessi) $\mathrm{\Psi }(q,t)$. Il quadrato del modulo $|\mathrm{\Psi }{|}^2=\overline{\mathrm{\Psi }}\mathrm{\Psi }$ di tale funzione (dove $\overline{\mathrm{\Psi }}$ oppure ${\mathrm{\Psi }}^{*}$ indica il complesso coniugato) viene interpretato come probabilità del sistema all'istante $t$ di coordinate $q$ .

Autovalori e autofunzioni

Consideriamo una grandezza fisica $f$ caratteristica di un sistema quantistico. Gli autovalori della grandezza $f$ sono i valori $f_n$ che la grandezza può assumere, e le autofunzioni ${\mathrm{\Psi }}_n$ sono le funzioni d'onda degli stati in cui $f=f_n$.

Operatori

Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza $f$ sono determinati dall'equazione

$\hat{f}\mathrm{\Psi }=f\mathrm{\Psi }$

dove $\hat{f}$ è l'operatore associato alla grandezza.

Il valore medio di $f$, nello stato descritto dalla funzione d'onda $\mathrm{\Psi }$, è

$<f>=\int {\mathrm{\Psi }}^{*}\hat{f}\mathrm{\Psi }dq$

Spettro discreto

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro discreto:

$\mathrm{\Psi }=\sum a_n{\mathrm{\Psi }}_n{a}_n=\int {\mathrm{\Psi }}_n^{*}\mathrm{\Psi }dq$

Spettro continuo

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro continuo:

$\mathrm{\Psi }(q)=\int a_f{\mathrm{\Psi }}_f(q)df{a}_f=\int {\mathrm{\Psi }}_f^{*}(q)\mathrm{\Psi }(q)dq$

Operatore impulso

Operatore associato all'impulso (quantità di moto) di una particella:

$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

$[{\hat{p}}_i,x_j]=-i\hslash {\delta }_{ij}$

Relazioni di indeterminazione:

$\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{\Delta }{x}_i\sim \hslash$

Il valore minimo dell'indeterminazione è $\hslash /2$, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

Operatore hamiltoniano

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

$\hat{\mathscr{H}}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici ${ℰ}_n$. A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

${\mathrm{\Psi }}_n(q,t)=\exp (-\frac{i}{\hslash }{ℰ}_{n}t){\psi }_n(q)$

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo ${ℰ}_0$ dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

Matrici

Gli elementi di matrice di una grandezza $f$ sono definiti dallo sviluppo delle funzioni $\hat{f}{\psi }_n$ sul sistema ortonormale $\left\{{\psi }_n\right\}$ costituito dalle autofunzioni dell'energia:

$f_{mn}=\int {\psi }_m^{*}\hat{f}{\psi }_{n}dq$

Gli elementi diagonali $f_{nn}$ sono i valori medi della grandezza $f$ negli stati ${\psi }_n$

Elementi di matrice dipendenti dal tempo:

$f_{mn}(t)=f_{mn}{e}^{i{\omega }_{mn}t},{\omega }_{mn}=\frac{{ℰ}_m-{ℰ}_n}{\hslash }$