Successioni di funzioni

Definizione e funzione limite

Sia $\varnothing \ne I\subseteq R$. Sia $ℱ$ l'insieme delle funzioni $f:I\subseteq ℝ\to ℝ$. Una successione di funzioni (reali a valori reali) è un'applicazione definita in questo modo:

$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:n\in \mathbb{N}\to f_n\in ℱ,f_n:I\to ℝ$

Questa definizione contiene il concetto di successione reale: fissato un qualsiasi $x$ in $I$, $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ è l'applicazione che, ad ogni $n\in \mathbb{N}$, associa il numero reale $f_n(x)$.

Si può definire la successione di funzioni anche come una funzione in due variabili, ossia:

$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:(n,x)\in \mathbb{N}\times I\to f(n,x)\in ℝ$

Con questa definizione viene messa in evidenza la dipendenza della funzione da $n$ e da $x$.

Avendo visto che $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ può essere espressa come un'applicazione che, ad ogni $x$ in $I$, associa $(f_n(x))$ nell'insieme delle successioni reali, si può trasportare il concetto di limite di una successione reale al limite di una successione di funzioni, definita nel modo seguente:

sia $I^{\prime }=\{x\in I|\mathrm{\exists }l(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)\in ℝ\}$. Tale insieme viene definito insieme di convergenza della successione.

Supponiamo $I^{\prime }\ne \varnothing$. Allora è possibile definire l'applicazione: $f:x\in I^{\prime }\to f(x)=l(x)\in ℝ$.

$f$ è definita come la funzione limite della successione $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, ossia $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in I^{\prime }$.

Definizione delle convergenze

Una successione di funzioni $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, definita in $I\subseteq ℝ$, si dice che converge puntualmente a una funzione $f$ in $I^{\prime }\subseteq I$ se, e solo se $f$ è limite della successione di $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, ossia, per la definizione di limite di una successione reale:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\forall }x\in I^{\prime },\mathrm{\exists }m:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m$

Va notato che, in base a questa definizione, $m$ dipende non solo da $\epsilon$, ma anche, in generale, da $x$.

Sia $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni definita in $I\subseteq ℝ$. Allora essa converge uniformemente a $f$ in $I^{\prime }\subseteq I$ se, e solo se, in poche parole, $m$ dipende solo da $\epsilon$, ossia:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in I^{\prime },\mathrm{\forall }n>m$

Per definizione, se una successione di funzioni converge puntualmente(risp. uniformemente) alla funzione limite in $I$, allora è chiaro che converge puntualmente(risp. uniformemente) $\mathrm{\forall }{I}^{\prime }\subseteq I$.

La convergenza uniforme ha la seguente e utile equivalenza, facilmente dimostrabile:

• $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, definito in $I\subseteq ℝ$, converge uniformemente a $f$ in $I^{\prime }\subseteq I$
• $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m:\underset{I^{\prime }}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m$, ossia, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{I^{\prime }}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0$

Questa equivalenza è molto utile per verificare la convergenza uniforme.

Collegamento tra le due convergenze

Dimostrazione

Sia fissato $\epsilon >0$, e sia $m$ tale che $\underset{I^{\prime }}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m$.
È chiaro che, per la proprietà dell'estremo superiore, se scelgo $x\in I^{\prime }$, $|f_n(x)-f(x)|\le \underset{I^{\prime }}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$.
Per l'arbitrarietà di $\epsilon$ e $x$, si è giunti alla tesi.

Il viceversa non vale in generale.Template:Todo

$◻$

Criteri di Cauchy

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

Dimostrazione

$\Rightarrow )$
$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente in $I$, quindi, $\mathrm{\forall }x\in I$, la successione numerica $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ è convergente ma, come è noto, ogni successione convergente è di Cauchy, quindi vale la tesi.
$\Leftarrow )$

In base alle ipotesi,

$\mathrm{\forall }x\in I$

, la successione numerica

$(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$

è di Cauchy ma, in base al teorema di Cauchy sulle successioni numeriche, essa deve convergere a un valore

$l(x)$

, e quindi esiste ed è finito,

$\mathrm{\forall }x\in I$

, il limite della successione di funzioni, che denotiamo con

$f$

, da cui segue la tesi.

$◻$

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

Dimostrazione

$\begin{array}{cc}\Rightarrow )& \epsilon >0,\mathrm{\exists }m:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m,\mathrm{\forall }x\in I\\ & h,k>m\Rightarrow |f_k(x)-f_h(x)|\le |f_k(x)-f(x)|+|f(x)-f_h(x)|<2\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in I\end{array}$

Dall'arbitrarietà di $\epsilon$, segue la tesi.

$\Leftarrow )$ $\epsilon >0,\mathrm{\exists }m:|f_k(x)-f_h(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }h,k>m,\mathrm{\forall }x\in I$

$x\in I\Rightarrow (f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ è di Cauchy in $ℝ$, quindi $\mathrm{\exists }f:I\to ℝ:\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$ e quindi c'è convergenza puntuale.

Per il teorema della permanenza del segno, se $\epsilon >0,\mathrm{\exists }m:|f_k(x)-f_h(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }h,k>m,\mathrm{\forall }x\in I$, allora $\underset{h\to +\mathrm{\infty }}{\lim }|f_k(x)-f_h(x)|\le \epsilon \Rightarrow |f_k(x)-f(x)|\le \epsilon ,\mathrm{\forall }k>m,\mathrm{\forall }x\in I$. Dall'arbitrarietà di $\epsilon$, segue la tesi.

$◻$

Convergenza uniforme e continuità

Teorema di inversione dei limiti

Bisogna ricordare che, se $I\subseteq ℝ$, allora $D(I)$ è chiamato derivato di $I$, ed è l'insieme dei suoi punti di accumulazione (se si ha bisogno, rivederli qui). Template:Riquadro Attenzione: la validità del teorema viene perduta se si sostituisce nelle ipotesi la convergenza uniforme con quella puntuale!

Dimostrazione

Sia fissato $\epsilon >0$. Per il criterio di Cauchy uniforme, sia $m\in \mathbb{N}$ tale che $\mathrm{\forall }h,k>m,|f_k(x)-f_h(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in I$.
Sapendo che $\mathrm{\forall }n,\mathrm{\exists }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x)=l_n\in ℝ$, allora, per il teorema della permanenza del segno (se si vuole rivederlo, qui), $|l_k-l_h|\le \epsilon ,\mathrm{\forall }k,h>m$.
Ciò mostra che la successione $(l_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ è di Cauchy, quindi converge verso un $l\in ℝ$, e quindi $\mathrm{\exists }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{l}_n=l\in ℝ$.

Sia fissato $\epsilon >0$. Allora:
$|f(x)-l|=|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-l_n(x)+l_n(x)-l|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-l_n(x)|+|l_n(x)-l|$

$\begin{array}{cc}1)& \mathrm{\exists }{m}_1:|l_n(x)-l|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m_1\\ 2)& \mathrm{\exists }{m}_2:\underset{I}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m_2\end{array}\Rightarrow |f(x)-l|<2\epsilon +|f_n(x)-l_n(x)|,\mathrm{\forall }n>m=\max \{m_1,m_2\},\mathrm{\forall }x\in I$
Siano fissati $\epsilon ,m$ e $n>m$. Per ipotesi $\mathrm{\exists }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x)=l_n\in ℝ$, quindi $\mathrm{\exists }\delta >0:|f_n(x)-l_n|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in I:|x-x_0|<\delta$.
Ciò implica che fissato $\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0:|f(x)-l|<3\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in I:|x-x_0|<\delta$.

Per l'arbitrarietà di

$\epsilon$

, è stato dimostrato che:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$

$◻$

Corollario (Teorema sulla continuità del limite)

Template:Riquadro Attenzione:vale la stessa considerazione fatta nel precedente teorema.

Dimostrazione

$f(x_0)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x_0)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

, da cui la tesi.

$◻$

Criterio 1

Dimostrazione

$|f_n(x_n)-f(x)|=|f_n(x_n)-f_n(x)+f_n(x)-f(x)|\le |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|$
Sia fissato $\epsilon >0$.
Per l'uniforme convergenza, $\mathrm{\exists }{m}_1:|f_n(x)-f_{(}x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m_1,\mathrm{\forall }x\in I$.
Per il teorema sulla continuità del limite, $x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$, e quindi $\mathrm{\exists }{m}_2:|f(x_n)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m_2$.

In conclusione, fissato

$\epsilon >0,\mathrm{\exists }m=\max \{m_1,m_2\}:|f_n(x_n)-f(x)|\le |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|<2\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m$

, da cui la tesi.

$◻$

Convergenza uniforme ed integrabilità

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

Dimostrazione

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},M_n=\sup \{|f_n(x)-f(x)|,x\in [a,b]\}\Rightarrow |f-f_n|=|f_n-f|\le M_n\Rightarrow -M_n\le f-f_n\le M_n\Rightarrow f_n-M_n\le f\le f_n+M_n$.
Ricordando che $\underset{\mathrm{\_}a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{\mathrm{\_}b}{\int }}f(x)dx$, e $\underset{\mathrm{\_}a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)dx=\underset{a}{\overset{\mathrm{\_}b}{\int }}{f}_n(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)dx,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ (rivedere Integrale di Riemann), allora si può dire che:
$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},0\le \underset{a}{\overset{\mathrm{\_}b}{\int }}f(x)dx-\underset{\mathrm{\_}a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}[f_n(x)+M_n]dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f_n(x)-M_n]dx=$
$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f_n(x)+M_n-f_n(x)+M_n]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}2M_{n}dx=2(b-a)M_n\to 0$, per l'uniforme convergenza della successione.
Ciò implica che $\underset{a}{\overset{\mathrm{\_}b}{\int }}f(x)dx=\underset{\mathrm{\_}a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$, e quindi $f$ è integrabile.

Inoltre: $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f_n(x)-f(x)]dx\right|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_n(x)-f(x)|dx\le$
$\le (b-a)\cdot \underset{x\in [a,b]}{\max }|f_n(x)-f(x)|=(b-a)\cdot \underset{x\in [a,b]}{\sup }|f_n(x)-f(x)|$.
Sia fissato $\epsilon >0$. Per ipotesi $\mathrm{\exists }m:\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m$.

Quindi:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le (b-a)\cdot \underset{x\in [a,b]}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<(b-a)\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m$

, cioè la tesi.

$◻$

Convergenza uniforme e derivabilità

Dimostriamo i seguenti due lemmi:

Lemma 1

Dimostrazione

$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ e per $h,k\in \mathbb{N}$ si ha: $|f_k(x)-f_h(x)|=|(f_k(x_0)-f_h(x_0))+(f_k(x)-f_h(x))-(f_k(x_0)-f_h(x_0))|\le$
$|f_k(x_0)-f_h(x_0)|+|(f_k(x)-f_h(x))-(f_k(x_0)-f_h(x_0))|$
. Per il teorema di Lagrange, applicato alla funzione $f_k-f_h$, $\mathrm{\exists }{x}_1\in [x_0,x]$ (supponiamo $x>x_0$) tale che:
$|(f_k(x)-f_h(x))-(f_k(x_0)-f_h(x_0))|=|x-x_0|\cdot |f{\text{'}}_k(x_1)-f{\text{'}}_h(x_1)|\le (b-a)|f{\text{'}}_k(x_1)-f{\text{'}}_h(x_1)|$.
Da ciò segue che: $|f_k(x)-f_h(x)|\le |f_k(x_0)-f_h(x_0)|+(b-a)|f{\text{'}}_k(x_1)-f{\text{'}}_h(x_1)|$.
Fissato $\epsilon >0$.
Per il criterio di Cauchy uniforme, $\mathrm{\exists }{m}_1:|f{\text{'}}_k(x)-f{\text{'}}_h(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }h,k>m_1,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$
Per il criterio di Cauchy per le successioni reali, $\mathrm{\exists }{m}_2:|f_k(x_0)-f_h(x_0)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }h,k>m_2$
Cioè: $|f_k(x)-f_h(x)|<2\epsilon ,\mathrm{\forall }h,k>m=\max m_1,m_2,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

$◻$

Lemma 2

Dimostrazione

Per $h,k\in \mathbb{N}$ e per $x\in [a,b]\setminus \{x_0\}$, $g_h(x)-g_k(x)=\frac{(f_k(x)-f_h(x))-(f_k(x_0)-f_h(x_0))}{x-x_0}$ Per il teorema di Lagrange, applicato a $f_k-f_h$, $\mathrm{\forall }x\in [a,b]\setminus \{x_0\},\mathrm{\exists }{x}_1\in [x_0,x]$ se $x>x_0$, altrimenti in $[x,x_0]$, tale che: $g_k(x)-g_h(x)=f{\text{'}}_k(x_1)-f{\text{'}}_h(x_1)$.
Per il criterio di Cauchy uniforme, applicato a $(f{\text{'}}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m:|g_k(x)-g_h(x)|=|f{\text{'}}_k(x)-f{\text{'}}_h(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }h,k>m,\mathrm{\forall }x\in [a,b]\setminus \{x_0\}$.

Quindi

$(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$

converge uniformemente in

$[a,b]\setminus \{x_0\}$

, cioè la tesi.

$◻$

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

Dimostrazione

Dal lemma 1 segue che $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente in ogni $[a,b]\subseteq I$. Sia $f$ la funzione limite. Fissati $a,b\in I$, e fissato $x_0\in [a,b]$, definiamo:
$g_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0},\mathrm{\forall }x\in [a,b]\setminus \{x_0\}$,
$g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\mathrm{\forall }x\in [a,b]\setminus \{x_0\}$.
Per il lemma 2, $(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente verso $g$ in $[a,b]\setminus \{x_0\}$.
Dal teorema di inversione dei limiti si ha: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f{\text{'}}_n(x_0)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{x\to x_0}{\lim }{g}_n(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=f^{\prime }(x_0)$.
Per l'arbitrarietà di $a$,$b$ e $x_0$, segue la tesi.

$◻$

Convergenza uniforme e monotonia

Teorema del Dini per le successioni di funzioni

Dimostrazione

Supponiamo che $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sia monotona crescente (quindi $f_n(x)\le f_{n+1}(x),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in [a,b]$).
Supponiamo, per assurdo, che $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ non converga uniformemente in $[a,b]$. Quindi $\mathrm{\exists }{\epsilon }_0:\mathrm{\forall }m\in N,\mathrm{\exists }k>m,x\in [a,b]$ tale che:

$|f_k(x)-f(x)|\ge {\epsilon }_0$

Osserviamo che $f_n(x)\le f(x),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in [a,b]\Rightarrow |f_k(x)-f(x)|=f(x)-f_k(x)$.
Fissato $h\in \mathbb{N},m=h$. Allora $\mathrm{\exists }{n}_h>h,\mathrm{\exists }{x}_h\in [a,b]:f(x_h)-f_{n_h}(x_h)\ge \epsilon$
Fissato $i\in \mathbb{N},i<n_h$, quindi $f_{n_h}\ge f_i\Rightarrow -f_{n_h}\le -f_i\Rightarrow f(x_h)-f_i(x_h)\ge f(x_h)-f_{n_h}(x_h)\ge {\epsilon }_0,\mathrm{\forall }h\in \mathbb{N}$
La successione $(x_h{)}_{h\in \mathbb{N}}\subset [a,b]$, quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, $\mathrm{\exists }(x_{h_j}{)}_{j\in \mathbb{N}}\subset [a,b],\mathrm{\exists }{x}_0\in [a,b]:x_{h_j}\to x_0$
Sappiamo che $f(x_{h_j})-f_i(x_{h_j})\ge {\epsilon }_0,\mathrm{\forall }i<n_{h_j}$.
Per il teorema della permanenza del segno, $\underset{j\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{h_j})-f_i(x_{h_j})=f(x_0)-f_i(x_0)\ge {\epsilon }_0>0$
Per lo stesso teorema $\underset{i\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x_0)-f_i(x_0)=f(x_0)-f(x_0)=0\ge {\epsilon }_0>0$, e quindi 0>0, ovviamente assurdo.

L'errore è sorto nell'aver supposto che

$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$

non converga uniformemente in

$[a,b]$

, e quindi la tesi è verificata.

$◻$

Teorema 2

Dimostrazione

Fissato $\epsilon >0$. Per ipotesi $f$ è continua in $[a,b]$, e quindi, per il teorema di Cantor, uniformemente continua, e quindi:
$\mathrm{\exists }\sigma =\{a=x_0,\dots ,x_h=b\}:|f(x)-f(y)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x,y\in [x_i,x_{i+1}],\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,h-1\}$
Visto che c'è convergenza puntuale, siano $(m_{x_i}{)}_{i=0,..,h}$ i raggi di convergenza puntuale associati agli $x_i$ (e a $\epsilon$, ovviamente), e sia $m=\underset{i=0,..,h}{\max }\{m_{x_i}\}$.
$\epsilon >0,\mathrm{\exists }m:|f_n(x_i)-f(x_i)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m,\mathrm{\forall }i=0,\dots ,h$.
Fissati $i\in \{0,\dots ,h-1\}$ e $x:x_i\le x\le x_{i+1}\Rightarrow f_n(x_i)\le f_n(x)\le f_n(x_{i+1})$. Ecco cosa succede:
$f_n(x)-f(x)=f_n(x)-f_n(x_{i+1})+f_n(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)\le$
$\le f_n(x_{i+1})-f_n(x_{i+1})+f_n(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)=f_n(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)$.
Scegliendo un $n>m$, allora: $f_n(x)-f(x)<2\epsilon$
$f_n(x)-f(x)=f_n(x)-f_n(x_i)+f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)\ge$
$\ge f_n(x_i)-f_n(x_i)+f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)=f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)$
Sempre per $n>m$, $f_n(x)-f(x)>-2\epsilon$

E quindi è stato mostrato che,

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m:|f_n(x)-f(x)|<2\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

, cioè la tesi.

$◻$

Compattezza delle funzioni continue in $[a,b]$

Sia $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni definite in un sottoinsieme di $ℝ$ contenente $[a,b],a<b$.
Tali funzioni si dicono equilimitate in $[a,b]$ se e solo se $\mathrm{\exists }M>0:|f_n(x)|\le M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.

Tali funzioni si dicono equicontinue in $[a,b]$ se e solo se $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta =\delta (\epsilon )>0:\mathrm{\forall }x,y\in [a,b]:|y-x|<\delta ,|f_n(y)-f_n(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.

Teorema di Ascoli-Arzelà

Dimostrazione

Sia $K=[a,b]\cap \mathbb{Q}$ l'insieme dei razionali di $[a,b]$. Essendo $\mathbb{Q}$ di cardinalità infinita, allora $K$, sottoinsieme di cardinalità infinita, è equipotente a $\mathbb{Q}$, ma esso è a sua volta equipotente a $\mathbb{N}$, e quindi $K$ lo possiamo scrivere come una successione numerica: $K=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

• Diagonale di Cantor:

Consideriamo $x_1$: la successione $(f_n(x_1){)}_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_n^{(1)}(x_1){)}_{n\in \mathbb{N}}$ (non è la successione delle derivate) convergente in $ℝ$. Sia $y_1=f^{(1)}(x_1)$ il limite di tale successione.
Consideriamo $x_2$: la successione $(f_n^{(1)}(x_2){)}_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_n^{(2)}(x_2){)}_{n\in \mathbb{N}}$ (non è la successione delle derivate seconde) convergente in $ℝ$. Sia $y_2=f^{(2)}(x_2)$ il limite di tale successione.
Procedendo nella stessa maniera $k-1$ volte, si trova che:
Consideriamo $x_{k-1}$la successione $(f_n^{(k-1)}(x_{k-1}){)}_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_n^{(k)}(x_{k-1}){)}_{n\in \mathbb{N}}$ (non è la successione delle derivate k-esime) convergente in $ℝ$. Sia $y_k=f^{(k)}(x_k)$ il limite di tale successione.
Inoltre, per ogni $k\in \mathbb{N}$ $(f_n^{(k)}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $y_j,\mathrm{\forall }j=1,\dots ,k-1$.

Procedendo indefinitamente, si è costruita la seguente tabella di successioni:
$\begin{array}{cccccc}{f}_1^{(1)}(x_1)& f_2^{(1)}(x_1)& \cdots & f_k^{(1)}(x_1)& \cdots \cdots & \to y_1\\ f_1^{(2)}(x_2)& f_2^{(2)}(x_2)& \cdots & f_k^{(2)}(x_2)& \cdots \cdots & \to y_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \ddots & ⋮\\ f_1^{(k)}(x_k)& f_2^{(k)}(x_k)& \cdots & f_k^{(k)}(x_k)& \cdots \cdots & \to y_k\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \ddots & ⋮\end{array}$

Adesso consideriamo la successione diagonale, ossia la seguente successione: $(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=(f_n^{(n)}{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Per l'osservazione fatta precedentemente, per ogni $j\in \mathbb{N}$, $(g_n(x_j){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $y_j$.

• Successione di Cauchy:

Fissato $\epsilon >0$, sia $\delta >0$ tale che $\mathrm{\forall }x,y\in [a,b]:|y-x|<\delta ,|f_n(y)-f_n(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Suddividiamo $[a,b]$ in $t$ sottointervalli $(I_i{)}_{i=1,\dots ,t}$ aventi ampiezza minore di $\delta$, e quindi $t>\frac{b-a}{\delta }$, e in ciascuno degli intervalli $I_i$, scegliamo un razionale, siano essi $(x_{j_i}{)}_{i=1,\dots ,t}$.
Allora, $\mathrm{\forall }x\in [a,b],\mathrm{\exists }r\in \{1,\dots ,t\}:|x-x_{j_r}|\le \delta$. Inoltre, per ogni $r\in \{1,\dots ,t\}$, $(g_n(x_{j_r}){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge, e quindi essa è di Cauchy, e quindi $\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:|g_h(x_{j_r})-g_k(x_{j_r})|<\epsilon ,\mathrm{\forall }h,k>m,\mathrm{\forall }r=1,\dots ,t$.
Fissato $x\in [a,b]$, sia $r\in 1,\dots ,t$ tale che $|x-x_{j_r}|\le \delta$. Allora, per ogni $h,k>m$:

$|g_h(x)-g_k(x)|\le |g_h(x)-g_h(x_{j_r})|+|g_h(x_{j_r})-g_k(x_{j_r})|+|g_k(x_{j_r}-g_k(x)|<3\epsilon$

, e quindi

$(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$

soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, e quindi

$(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$

converge uniformemente in

$[a,b]$

.

$◻$