Dinamica dei sistemi rigidi

Teoria dei momenti d'inerzia

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

$i=m\cdot {\delta }^2$

essendo $\delta$ la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

$I=\sum _{r=1}^n{m}_r\cdot {{\delta }_r}^2$

$I=\iiint \rho \cdot {\delta }^{2}dv$

essendo dv l'elementino del volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

$\sigma =\sqrt{\frac{I}{M}}$

Essendo:

$M=\sum _{i=1}^n{m}_i$

o, nel caso di un sistema continuo:

$M=\iint \rho dv$

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

-Teorema di Huygens

Se I è il momrento d'inerzia do S rispettp ad a, $I_0$ il momento d'inerzia S rispetto ad $a_0$, retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

$I=I_0+M\cdot d^2$

Energia cinetica di un corpo rigido

L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare $\omega$ e che trasla nello spazio con velocità $v$ è:

$E_k=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

dove $M$ è la massa totale del corpo ed $I$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Equazione della dinamica dei corpi rigidi

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle Equazioni cardinali dei sistemi

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}^{ext}=m\frac{d{\overrightarrow{v}}_c}{dt}=\frac{d{\overrightarrow{p}}_c}{dt}\\ {\overrightarrow{M}}^{ext}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}\end{array}$

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}^{ext}=m\frac{d{\overrightarrow{v}}_c}{dt}=\frac{d{\overrightarrow{p}}_c}{dt}=0\\ {\overrightarrow{M}}^{ext}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=0\end{array}$

e queste equazioni introducono la Legge di conservazione del momento angolare e fanno parte di una branca della meccanica classica detta statica.

Teorema della derivata della quantità di moto

L'equazione della quantità di moto si scrive dicendo:

$\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}=\overrightarrow{R_e}$

essendo:

$\overrightarrow{Q}=\sum _i{m}_i\overrightarrow{v_i}=\overrightarrow{v_G}\sum _i{m}_i$

Ora consideriamo un sistema rigido e prendiamo una terna solidale al corpo come terna di riferimento. Questa terna durante il moto rigido traslerà e ruotera per cui l'equazione:

$\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}=\overrightarrow{R_{}e}$

essendo riferita ad assi fissi dovrà essere opportuanmente cambiata.

La velocità del baricentro, se $x_G,y_G,z_G$ ne sono le coordinate, è data da:

$\overrightarrow{v_G}=\overrightarrow{v_o}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \stackrel{}{\to }OG$

per cui la quantità di moto totale del sistema è data da:

$\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{v_G}\underset{V}{\int }dm=\underset{V}{\int }(\overrightarrow{v_o}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OG})dm$

Ora se la terna di riferimento è una terna centrale $\overrightarrow{OG}=0$ per cui:

$\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{v_G}\underset{V}{\int }dm=\underset{V}{\int }\overrightarrow{v_o}dm$

Se 'u', 'v', 'w' sono le componenti di $\overrightarrow{v_G}$ sui tre assi mobili avremo:

$\overrightarrow{Q}=M(u\overrightarrow{i}+v\overrightarrow{j}+w\overrightarrow{k})$.

Eseguendo il derivato di $\overrightarrow{Q}$ rispetto al tempo e considerando che gli assi di riferimento sono mobili:

$\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}=M(\frac{du}{dt}\overrightarrow{i}+\frac{dv}{dt}\overrightarrow{j}+\frac{dw}{dt}\overrightarrow{k}+u\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}+v\frac{d\overrightarrow{j}}{dt}+w\frac{d\overrightarrow{k}}{dt})$

Da cui derivano le tre equazioni scalari che rappresentano l'equazioni della quantità di moto sui tre assi mobili solidali al corpo $x,y,x$:

$M(\frac{du}{dt}+qw-rv)=R_x$

$M(\frac{dv}{dt}+ru-pw)=R_y$

$M(\frac{dw}{dt}+pv-qu)=R_z$

Teorema della derivata del momento della quantità di moto

La seconda equazione cardinale della dinamica è data da:

$\frac{d\overrightarrow{K}}{dt}=\overrightarrow{M_e}$

sempre che il punto di riduzione dei momenti sia un punto fisso o il baricentro.

Nel caso di un corpo rigido assumiamo senz'altro che la terna solidale col corpo abbia origine nel baricentro (Terna Centrale). In questo caso $x_G,y_G,z_G$ sono nulli.

Allora la velocità di un punto 'P' del sistema è data:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_G}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{PG}$

a cui compete una quantità di moto elementare:

$d\overrightarrow{Q}=dm(\overrightarrow{v_G}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{PG})$

ed un momento della quantità di moto elementare rispetto al baricentro:

$d\overrightarrow{K}=\overrightarrow{PG}\wedge dm(\overrightarrow{v_G}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{PG}).$

Il momento della quantità di moto totale è dato ovviamente da:

$\overrightarrow{K}=\underset{V}{\int }\overrightarrow{PG}\wedge \overrightarrow{v_G}dm+\underset{V}{\int }\overrightarrow{PG}\wedge (\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{PG})dm.$

Il termine $\underset{V}{\int }\overrightarrow{PG}\wedge \overrightarrow{v_G}dm$ è zero in quanto la quantità di moto totale è un vettore che passa per il baricentro, per cui:

$\overrightarrow{K}=\underset{V}{\int }\overrightarrow{PG}\wedge (\mathrm{\Omega }\wedge \overrightarrow{PG})dm.$

Se $x,y,z$ sono le coordinate di $P$ e $p,q,r$ le componenti di $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$:

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{PG}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ p& q& r\\ x& y& z\end{array}\right|=(qz-zy)\overrightarrow{i}+(rx-pz)\overrightarrow{j}+(py-qx)\overrightarrow{k}$

ed ancora:

$\overrightarrow{PG}\wedge (\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{PG}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x& y& z\\ (qz-ry)& (rx-pz)& (py-qz)\end{array}\right|=$

$[y(py-qx)-z(rx-pz)]\overrightarrow{i}+[z(qz-ry)-x(py-qx)]\overrightarrow{j}+[x(rx-pz)-y(qz-ry)]\overrightarrow{k}.$

Per cui possiamo scrivere che:

$K_x=p\underset{V}{\int }\rho (x^2+z^2)dv-r\underset{V}{\int }xz\rho dv-q\underset{V}{\int }xy\rho dv$

$K_y=q\underset{V}{\int }\rho (z^2+x^2)dv-r\underset{V}{\int }yz\rho dv-p\underset{V}{\int }xy\rho dv$

$K_z=r\underset{V}{\int }\rho (x^2+y^2)dv-p\underset{V}{\int }xz\rho dv-q\underset{V}{\int }zy\rho dv$

Ora se la terna di riferimento è una terna principale di inerzia tutti gli integrali del tipo $\underset{V}{\int }xzdm$ sono nulli quindi il momento della quantità di moto rispetto agli assi mobili è dato da:

$\overrightarrow{K}=Ap\overrightarrow{i}+Bq\overrightarrow{j}+Cr\overrightarrow{k}$

Applicando ora l'equazione del momento della quantità di moto e tenendo conto che gli assi sono mobili otteniamo:

$\frac{d\overrightarrow{K}}{dt}=A\dot{p}\overrightarrow{i}+B\dot{q}\overrightarrow{j}+C\dot{r}\overrightarrow{k}+\mathrm{\Omega }\wedge (Ap\overrightarrow{i}+Bq\overrightarrow{j}+Cr\overrightarrow{k})=\overrightarrow{M_e}$

E quindi le tre equazioni scalari:

$A\frac{dp}{dt}+(C-B)rq=\overrightarrow{M_x}$

$B\frac{dq}{dt}+(A-C)pr=\overrightarrow{M_y}$

$C\frac{dr}{dt}+(B-A)pq=\overrightarrow{M_z}$

Concludendo possiamo dire che un motorigido rimane individuato dalla conoscenza dei suoi sei parametri $u,v,w,p,q,$ che corrispondono a sei gradi di libertà del corpo. Per cui note le cause esterne che producono il moto $\overrightarrow{R_e}$ e $\overrightarrow{M_e}$ che potranno essere in generale funzioni di $u,v,w,p,q,r$ e delle coordinate, è possibile attraverso l'integrazione delle equazioni differenziali scritte e con le opportune condizioni ai limitiindividuare completamente il mptp rigido.