Torsione nella trave di sezione circolare

Asta circolare sottoposta a momento torcente Z

Una trave si dice sottoposta a torsione quando è soggetta ad un'azione di momenti torcenti $M_t$ uguali e contrari sulle basi estreme.

Per un primo approccio al problema si consideri il caso particolare di trave di sezione circolare piena di raggio $r$. La risoluzione di questo problema, in realtà, non fu fornita da Saint Venant ma da Coulomb .

A differenza dei casi precedenti, in cui si sono fatte delle ipotesi statiche (cioè sulle tensioni), in questo caso si fanno delle ipotesi cinematiche (sulla deformazione). Si suppone, infatti, che le sezioni in seguito alla deformazione si mantengano piane e che non si deformano nel loro piano ma ruotano rigidamente. Queste ipotesi, sia ben chiaro, sono valide esclusivamente per sezione circolare, e rappresentano l'equivalente nel caso della torsione della conservazione delle sezioni piane trovate per la flessione semplice. In termini matematici queste ipotesi si esprimono nel modo seguente:

$\{\begin{array}{c}{v}_x=-\varphi y\\ v_y=\varphi x\\ v_z=0\end{array}$

in cui $\varphi$ rappresenta la rotazione subita dalla sezione.

La misura della deformazione è fornita dall'angolo unitario di torsione $\theta$, che rappresenta la rotazione mutua tra due sezioni a distanza unitaria, per cui:

$\theta =\frac{\varphi }{z}\to \varphi =\theta z$

Le componenti dello spostamento, dunque, possono esprimersi nel modo seguente:

$\{\begin{array}{c}{v}_x=-\theta yz\\ v_y=\theta xz\\ v_z=0\end{array}$

Analisi della deformazione e della tensione

Note le componenti di spostamento, è immediato ricavare le componenti della deformazione:

$\{\begin{array}{c}{ϵ}_x=\frac{\delta v_x}{\delta x}=0\\ {ϵ}_{xy}=\frac{1}{2}{\gamma }_{xy}=0\\ {ϵ}_{xz}=\frac{1}{2}{\gamma }_{xz}=-\theta y\\ {ϵ}_y=\frac{\delta v_y}{\delta y}=0\\ {ϵ}_{yz}=\frac{1}{2}{\gamma }_{yz}=\theta x\\ {ϵ}_z=\frac{\delta v_z}{\delta z}=0\end{array}$

Da tali equazioni, per mezzo delle relazioni costitutive, è possibile ricavare le componenti di tensione, tra le quali le uniche non nulle sono le seguenti:

$\{\begin{array}{c}{\tau }_{xz}=-G\theta y\\ {\tau }_{yz}=G\theta x\end{array}$

Si può rilevare che le tensioni appena valutate sono sempre perpendicolari al generico raggio della sezione perché esse devono avere la stessa direzione delle componenti di deformazione relative, e che queste ultime sono sicuramente perpendicolari al generico raggio per le ipotesi cinematiche fatte.

Si consideri la tensione totale agente nel generico punto:

${\tau }_z=\sqrt{{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2}=\sqrt{G^2{\theta }^2(x^2+y^2)}$

Ma $(x^2+y^2)=r^2$, per cui:

${\tau }_z=G\theta r$

La tensione tangenziale dovuta alla torsione, cioè, cresce linearmente all'aumentare della distanza del punto dal baricentro della sezione, in cui ha valore nullo.

Si può dimostrare l'assenza del taglio nonostante la presenza di tensioni tangenziali considerando una delle due direzioni degli assi della sezione (ad esempio $x$):

$V_x=\underset{A}{\int }{\tau }_{xz}dA=-\underset{A}{\int }G\theta ydA=-G\theta \underset{A}{\int }ydA=0$

dal momento che l'integrale rappresenta il momento statico della sezione rispetto al suo baricentro, che naturalmente è nullo.

Essendo nulle anche le ${\sigma }_z$ sono nulle anche le rimanenti caratteristiche della sollecitazione. Per l'equilibrio, dunque, le tensioni interne dovranno produrre un momento torcente uguale ed opposto a quello agente:

$M_t=\underset{A}{\int }{\tau }_{z}rdA=\underset{A}{\int }G\theta r^{2}dA=G\theta \underset{A}{\int }{r}^{2}dA=G\theta J_G$

avendo indicato con $J_G$ il momento polare della sezione rispetto al baricentro. Di conseguenza può scriversi:

$\varphi =\frac{M_t}{G{J}_G}h$ (h lunghezza della trave)

Si definisce rigidezza torsionale la quantità $K_T=G{J}_G/h$.

Per le relazioni appena trovate, la tensione tangenziale può scriversi:

${\tau }_z=\frac{M_t}{J_G}r$

La tensione, cioè, è linearmente crescente con la distanza dal centro della sezione (dove la tensione è nulla). Per cui la tensione massima si sviluppa nei punti del contorno della sezione, e vale:

${\tau }_{z,max}=\frac{M_t}{J_G}R$

I medesimi risultati possono essere estesi al caso di sezione a corona circolare, tenendo però presente di dover considerare un momento polare della sezione differente.

L'energia di deformazione vale:

$\mathrm{\Phi }=\frac{M_t^{2}l}{2G{J}_G}$