Gli Angoli Particolari (superiori)

Possiamo ricavare per via geometrica il valore esatto delle funzioni trigonometriche di angoli particolari.

Angoli di 45°

Triangolo rettangolo isoscele

Il triangolo rettangolo isoscele ha gli angoli acuti di $45\text{°}$ ed è la metà di un quadrato di lato $l$. Sappiamo che $d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=\sqrt{2}l$; poiché il calcolo delle funzioni trigonometriche per un angolo non dipende dal particolare triangolo usato, possiamo concludere per le definizioni date: $\sin (45\text{°})=\frac{l}{\sqrt{2}l}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e anche $\cos (45\text{°})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e per la definizione di tangente dell’angolo $\tan (45\text{°})=1$.

Angoli di 30° e 60°

Triangolo rettangolo con angoli di 30 e 60 gradi

Il triangolo rettangolo con un angolo di $30\text{°}$ ha l’altro angolo acuto di $60\text{°}$ pertanto possiamo trattare insieme la ricerca delle funzioni trigonometriche di tali angoli.

Il triangolo rettangolo in questione è la metà di un triangolo equilatero di lato $l$ e altezza $h$; poiché $\overline{HC}$ è metà del lato possiamo subito dire che $\cos (60\text{°})=\frac{\overline{HC}}{l}=\frac{l/2}{l}=\frac{1}{2}$. Per le definizioni date si ha $\sin (60\text{°})=\frac{\overline{AH}}{l}$. Applicando il teorema di Pitagora si ottiene

$\overline{AH}=\sqrt{l^2-{\left(\frac{l}{2}\right)}^2}=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}l=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}l=\frac{\sqrt{3}}{2}l\Rightarrow \sin (60\text{°})=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Infine $\tan (60\text{°})=\frac{\sin (60\text{°})}{\cos (60\text{°})}=\sqrt{3}$.

Ricordando che per angoli complementari è $\sin (x)=\cos (90\text{°}-x)$ e $\cos (x)=\sin (90\text{°}-x)$ ed essendo $30\text{°}=90\text{°}-60\text{°}$ possiamo scrivere:

$\sin (30\text{°})=\cos (60\text{°})=\frac{1}{2};\cos (30\text{°})=\sin (60\text{°})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

e infine

$\tan (30\text{°})=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Angoli di 0° e 90°

Triangolo rettangolo

Ovviamente non esiste un triangolo con un angolo di $0\text{°}$: si tratta di un triangolo che degenera in un segmento. Possiamo pensare ad un triangolo rettangolo come nella figura, avente $a=1$ e immaginare di muovere il vertice $C$ in modo da rimpicciolire sempre più l’angolo $\beta$; quando $\beta$ diventa $0\text{°}$ il segmento $b$ si riduce ad un punto e si ha $b=0$ e quindi $sin(0\text{°})=0$, l’ipotenusa $a$ coincide con il cateto $c$ quindi $\cos (0\text{°})=1$ e infine $\tan (0\text{°})=0$.

Allo stesso modo, se deformiamo il triangolo fino ad avere l’angolo $\gamma$ di $0\text{°}$, quindi $\beta$ di $90\text{°}$, otteniamo che $\sin (90\text{°})=1$ e $\cos (90\text{°})=0$; applicando la formula della tangente si avrà una frazione con denominatore nullo e quindi diremo che $\tan (90\text{°})$ non è definita.

Possiamo riassumere i valori trovati per questi angoli particolari in una tabella:

$\begin{array}{cccc}\text{angolo}x& \sin (x)& \cos (x)& \tan (x)\\ 0\text{°}& 0& 1& 0\\ 30\text{°}& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 45\text{°}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1\\ 60\text{°}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}\\ 90\text{°}& 1& 0& \text{non definita}\end{array}$

Come possiamo ottenere i valori delle funzioni trigonometriche per angoli diversi da quelli sopra considerati?