La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori)

Ricordiamo che risolvere un triangolo significa ricavare le misure di tutti i suoi elementi (lati e angoli) date le misure di alcuni di essi.

---

ESEMPIO 1. Determinate l’area del triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$, sapendo che il cateto $BC=2\text{m}$ e che $\widehat{ABC}=\beta =20\text{°}$.

Dati:  $\widehat{BAC}=90\text{°}$,$\overline{BC}=2\text{m}$,$\widehat{ABC}=\beta =20\text{°}$.

Obiettivo:  $\text{Area}(ABC)$.

Procedura risolutiva:  $\text{Area}(ABC)=\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}$.

Dobbiamo dunque determinare le misure dei cateti. Applicando le definizioni ($\gamma =\widehat{ACB}$):

$\overline{AB}=\overline{BC}\cdot \cos (\beta )=2\cdot \cos (20\text{°})\simeq 2\cdot 0,940\simeq 1,879$ $\overline{AC}=\overline{BC}\cdot \cos (\gamma )=2\cdot \cos (70\text{°})\simeq 2\cdot 0,342\simeq 0,684$

Pertanto $\text{Area}\simeq 0,643({\text{m}}^2)$.

ESEMPIO 2. Un triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$, ha il cateto $AB$ di $5\text{cm}$ e l’angolo acuto in $C$ di $57\text{°}$; determinate l’altro angolo acuto, la misura del cateto $AC$ e la misura dell’ipotenusa $BC$.

Dati:  $\widehat{BAC}=90\text{°}$,$\widehat{BCA}=57\text{°}$,$\overline{AB}=5\text{cm}$.

Obiettivo:  $\beta =\widehat{ABC}$,$\overline{AC}$,$\overline{BC}$.

Procedura risolutiva: Essendo gli angoli acuti complementari si ottiene $\beta =90\text{°}-57\text{°}=33\text{°}$. Applicando la formula inversa:

$\overline{CB}=\frac{\overline{AB}}{\cos (\beta )}=\frac{5}{\cos (33\text{°})}\simeq \frac{5}{0,839}\simeq 5,962\text{cm}.$

Infine determiniamo l’altro cateto e osserviamo che possiamo procedere in due modi:

• con il Teorema di Pitagora:

$\overline{CA}=\sqrt{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CB}}-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}}\simeq \sqrt{35,543-25}\simeq \sqrt{10,543}\simeq 3,247\text{cm};$

• per definizione di coseno:

$\overline{CA}=\overline{CB}\cdot \cos (\gamma )\simeq 5,962\cdot \cos (57\text{°})\simeq 5,962\cdot 0,545\simeq 3,247\text{cm}.$

---

OSSERVAZIONE.

1. Nei calcoli effettuati abbiamo operato un’approssimazione; per esempio il valore esatto di $\overline{CB}$ è rappresentato solo dall’espressione $\overline{CB}=\frac{\overline{AB}}{\cos (\beta )}=\frac{5}{\cos (33\text{°})}$.
2. I risultati ottenuti con procedimenti diversi possono differire, se pur di poco, a causa dell’uso di valori approssimati nei calcoli che aumentano l’errore di approssimazione (propagazione dell’errore).

---

ESEMPIO 3. Risolvi il triangolo rettangolo della figura sapendo che $c=20\text{cm}$ e $\sin (\beta )=\frac{3}{5}$.

Risoluzione di un triangolo rettangolo

Usiamo l’identità fondamentale per determinare $\cos (\beta )$:

$\cos (\beta )=\sqrt{1-{\sin }^2(\beta )}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25-9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5};$

Poiché $\cos (\beta )=\frac{c}{a}$ si ha:

$a=\frac{c}{\cos (\beta )}=\frac{20}{\frac{4}{5}}=\frac{20\cdot 5}{4}=25\text{cm}.$

Per il teorema di Pitagora $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15\text{cm}$;

$\beta \simeq 36\text{°}52^{\prime }12^{″}$ (calcolato con la calcolatrice e arrotondato), $\gamma =90\text{°}-\beta \simeq 53\text{°}07^{\prime }48^{″}$.

ESEMPIO 4. Risolvere il triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$ (quello della figura precedente) sapendo che $b=2\text{cm}$ e $\sin (\beta )=0,2$.

Dati:  $b=2\text{cm}$,$\sin (\beta )=0,2$.

Obiettivo:  $a$,$c$,$\beta$,$\gamma$.

Procedura risolutiva:  Dalla definizione di seno $\sin (\beta )=\frac{b}{a}$ si ha

$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{2}{0,2}=10\text{cm}.$

Con il teorema di Pitagora possiamo ricavare l’altro cateto

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\simeq 9,798\text{cm}.$

Infine, con la funzione inversa, ricaviamo l’angolo $\beta ={\sin }^{-1}(0,2)\simeq 11,537$ e procedendo come spiegato in precedenza otteniamo: $\beta \simeq 11\text{°}32^{\prime }13^{″}$ e $\gamma =90\text{°}-\beta \simeq 78\text{°}27^{\prime }47^{″}$.

---

Proiezione di un segmento lungo una direzione

DEFINIZIONE 1. Dato un segmento $AB$ ed una retta $r$ che passa per un suo estremo ($A$, per fissare le idee). Si definisce proiezione del segmento $AB$ sulla retta $r$ il segmento $AH$ dove $H$ è l’intersezione fra $r$ e la sua perpendicolare passante per $B$ (si vedano i tre esempi riportati nella figura seguente).

Proiezioni su rette