Le potenze (scuola media)

Una nuova operazione: la potenza

Per chi non ama leggere: Template:YouTube

Così come per semplificare Template:Vk ripetute abbiamo inventato la Template:Vk

$3+3+3+3=3\cdot 4$

per semplificare moltiplicazioni ripetute abbiamo inventato l'Template:Vk

$2\cdot 2\cdot 2=2^3$.

$3\cdot 4$ significa sommare 3 con se stesso per 4 volte $3+3+3+3=3\cdot 4=12$

$2^3$ significa moltiplicare 2 per se stesso per 3 volte $2\cdot 2\cdot 2=2^3=8$.

$2^3$ si legge: «Due alla terza». Template:Clear

Elevare a potenza cosa e perché?

Dadi

1,5; 2,4.... Quante sono le possibili combinazioni risultanti dal lancio di due dadi?
Se il primo dado mi da 1 il secondo può darmi 6 punteggi differenti, se il primo mi da 2 il secondo può, anche in questo caso, darmi 6 punteggi differenti, quindi... Sei facce ed altre sei facce, sei possibilità per ognuno dei due dadi $6^2=6\cdot 6=36$ Giusto?
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Albero con molti rami

Ogni primavera da ogni ramo ne spuntano 3. Partito quattro anni fa da un tronco quanti rami ha adesso questo albero?
L'albero si divide in tre ripetutamente per quattro volte, mmmmmm????
Su ogni ramo ne spuntano tre partendo dal tronco quindi $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$
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Qualche esempio di potenza

Base	Esponente	Potenza	Calcolo	Risultato	Note
$2$	$3$	$2^3$	$2\cdot 2\cdot 2$	$8$
$2$	$4$	$2^4$	$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$	$16$
$5$	$3$	$5^3$	$5\cdot 5\cdot 5$	$125$
$10$	$3$	$10^3$	$10\cdot 10\cdot 10$	$1000$	Il numero degli zeri che seguono l'uno è pari al valore dell'esponente
$2$	$10$	$2^{10}$	$\underset{\text{10 volte}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2...2\cdot 2}}$	$1024\approx 1000=10^3$	$2^{10}$ vale circa 1000, ed infatti in informatica si usa il suffisso kilo (mille) per 1 KiloByte pari a 1024 Byte $1KB=1024Byte\approx 10^{3}Byte$

Le potenze di 2

$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$

$2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

$2^5=32e{2}^6=64e{2}^7=128e{2}^8=256e{2}^9=512$

$2^{10}=1024\approx 1000=10^3$
Template:-

Le potenze di 10

${10}^2=10\cdot 10=100$

${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$

${10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$

${10}^5=\underset{\text{5 volte}}{\underbrace{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}}=1\underset{\text{5 zeri}}{\underbrace{00000}}$

... generalizzando la potenza di 10 si ottiene aggiungendo tanti zeri quanti indicati nell'esponente...

${10}^n=\underset{\text{n volte}}{\underbrace{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10...\cdot 10}}=1\underset{\text{n zeri}}{\underbrace{0000...0}}$

Corrispondenze tra le potenze di 2 e di 10

Da quando abbiamo a che fare con device elettronici misuriamo la loro capacità di memoria in Mb (megabyte), Gb (gigabyte) ed anche in Tb (terabyte). I suffissi di questi multipli del byte sono mutuati dalle potenze del 10:

• kilo = mille
• mega = un milione
• giga = un miliardo

e così via.

Tecnicamente sarebbero però potenze del 2:

• 1 kilobyte = $2^{10}byte=1024byte$
• 1 megabyte = $2^{10}kilobyte=2^{20}byte=1048576byte$
• 1 gigabyte = $2^{10}megabyte=2^{30}byte=1073741824byte$

sono evidenti le approssimazioni

• 1 kilobyte = $2^{10}byte=1024byte\approx 1000byte={10}^{3}byte$
• 1 megabyte = $2^{20}byte=1048576byte\approx 1000000byte={10}^{6}byte$
• 1 gigabyte = $2^{30}byte=1073741824byte\approx 1000000000byte={10}^{9}byte$

Template:-

Esercizi per capire le potenze

<quiz> {$7\cdot 7\cdot 7=$ |type="()"} - $7\cdot 3$ - $32$ + $7^3$ - $73$

{$3^2=$ |type="()"} - $6$ + $9$ - $5$ - $3$

{$2^3=$ |type="()"} - $5$ - $6$ - $23$ + $8$

{$6^2=$ |type="()"} - $62$ + $36$ - $12$ - $8$

{$1^{10}=$ |type="()"} + $1$ - $10$ - $10000000000$ - $110$

{$0^3=$ |type="()"} - $30$ - $0,03$ + $0$ - $1000$

{$12^2=$ |type="()"} - $24$ - $48$ - $12+12$ + $144$

{$2^4=$ |type="()"} + $4^2$ - $4$ - $8^2$ - $8$ </quiz>

Tabella potenze di 2

$2^0$	$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$	$2^{20}$	$2^{30}$
$2^0=1$	$2^1=2$	$2^2=4$	$2^3=8$	$2^4=16$	$2^5=32$	$2^6=64$	$2^7=128$	$2^8=256$	$2^9=512$	$2^{10}=1024\approx 10^3$	$2^{20}\approx 10^6$	$2^{30}\approx 10^9$

Osservazioni sulle potenze di 2

Calcoliamo $2^{10}=1024$ e $2^{20}=1048576$ e anche $2^{30}=1073741824$ che possiamo approssimare così:

• $2^{10}=1024\approx mille=1000=10^3$ commettendo un errore di $\frac{24}{1024}\approx 2\mathrm{\%}$
  
• $2^{20}=1048576\approx unmilione=1000000=10^6$ errore di $\frac{48576}{1048576}\approx 5\mathrm{\%}$
  
• $2^{30}=1073741824\approx unmiliardo=1000000000=10^9$ errore di $\frac{73741824}{1073741824}\approx 7\mathrm{\%}$
  

La RAM e le potenze di 2

4 Giga, 16 Giga oppure 64 Giga, la quantità di RAM a disposizione dei nostri smartphone, tablet o PC, in generale viene misurata in Giga, e stranamente questi Giga crescono come le potenze di 2, guarda la tabella qui sopra. Perché?
Le informazioni nei nostri strumenti vengono registrate digitalmente in Template:Vk, che possiamo pensare come un segnale Template:Vk, una lampadina accesa o spenta, un 1 oppure uno 0, insomma un codice a due sole cifre. 8 bit formano un Template:Vk , $8=2^3$ e 1024 Byte fanno un KiloByte, $1024=2^{10}\approx 10^3=mille=1K$.

Quiz per capire le potenze di 2

<quiz> {$2^{10}\approx$ |type="()"} + $10^3$ - $10^2$ - $10$ - $10000$

{$1KB\approx$ |type="()"} - $10^{2}Byte$ + $10^{3}Byte$ - $10Byte$ - $10000Byte$

{$2^{30}\approx$ |type="()"} - $10^3$ - $unmilione$ + $10^9$ - $10000$

{$1073741824\approx$ |type="()"} - $10^3$ + $10^9$ - $unmilione$ - $10000$

{$1048576\approx$ |type="()"} - $10^3$ - $10^9$ + $unmilione$ - $10000$ </quiz>

Tabella potenze di 3

$3^0$	$3^1$	$3^2$	$3^3$	$3^4$	$3^5$
$3^0=1$	$3^1=3$	$3^2=9$	$3^3=27$	$3^4=81$	$3^5=243$

Potenze nei decimali, elevare a potenza per rimpicciolire i numeri

Sembrerebbe che moltiplicando un numero per se stesso più volte si possa ottenere solo numeri più grandi.

Non sempre è così, infatti:

$0,1^2=0,01$

$0,2^2=0,04$

sorprendente, da provare con la calcolatrice.

Quiz per capire le potenze nei decimali

<quiz> {$0,1^2=$ |type="()"} + $0,01$ - $1$ - $10$ - $nonsipu{o}^{\prime }fare$

{$0,5^2=$ |type="()"} - $0,01$ + $0,25$ - $1$ - $nonsipu{o}^{\prime }fare$

{$0,7^3=$ |type="()"} - $0,01$ - $0,49$ - $0,21$ + $0,343$

{$0,04^2=$ |type="()"} + $0,0016$ - $0,16$ - $1,6$ - $nonsipu{o}^{\prime }fare$

{$0,9^2=$ |type="()"} + $0,81$ - $0,18$ - $1,8$ - $2,9$

{$0,1^{10}=$ |type="()"} + $0,0000000001$ - $0,001$ - $10$ - $10000000000$

{$0,3^1=$ |type="()"} + $0,3$ - $3$ - $0,03$ - $1,3$

</quiz>

Operazioni con le potenze, solo se hanno la stessa base però!

Per chi non ama leggere: Template:YouTube oppure Template:YouTube

Come semplificare i calcoli con le potenze 1: qualche trucco

Quindi prendiamo una divisione tra due numeri particolari entrambi potenze con la stessa base
$7^5:7^3=16807:343=49$ fatto in fretta ma con la calcolatrice ;-)

Pensandoci un poco si tratta di moltiplicare 7 per se stesso 5 volte e poi di dividere il numero ottenuto per 7 per tre volte, una dietro l'altra. Questo è un lavoro per la Template:Vk

$7^5:7^3=(7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7):(7\cdot 7\cdot 7)$

Possiamo dividere Template:Vk e Template:Vk per uno stesso numero, il massimo numero di sette possibile, furbescamente il Template:Vk tra i due, per farlo basta cancellarli dal dividendo e dal divisore nello stesso numero. Quanti ne posso cancellare?

$(7\cdot 7\cdot 7\dot{\text{⧸}}7\cdot 7):(7\cdot 7\cdot 7)=7\cdot 7:1=7^2=49$

Come semplificare i calcoli con le potenze 2: algebra delle potenze

I calcoli con le potenze possono essere svolti in modo veloce e semplificato tenendo conto delle proprietà dei calcoli con le potenze, che tutte insieme forma l'algebra delle potenza.

Tutte le proprietà vanno imparate per agevolare il calcolo mentale, così come per le quattro operazioni, quindi è consigliabile usarle soprattutto quando si ha a che fare con operazioni con numeri molto grandi.

Prodotto di potenze con la stessa base e diverso esponente

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Se devo moltiplicare tra loro due potenze che hanno la stessa base posso ricorrere alla proprietà associativa, infatti

$3^2\cdot 3^5=\underset{\text{2 volte}}{\underbrace{3\cdot 3}}\cdot \underset{\text{5 volte}}{\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}=\underset{\text{7 volte}}{\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}=3^7$

e, come si deduce facilmente dai passaggi esposti:

$3^2\cdot 3^5=3^{2+5}=3^7$

Possiamo così esporre la regola generale. Quindi se a, n ed m sono numeri naturali positivi, che in simboli

$a,n,m\in \mathbb{N}\wedge a>0n>0m>0$ allora

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Quoziente di potenze con la stessa base e diverso esponente

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Grazie alla proprietà invariantiva possiamo dedurre anche un metodo per semplificare la divisione tra le potenze aventi la stessa base:

$3^5:3^2=\frac{3^5}{3^2}=\frac{\stackrel{\text{5 volte}}{\overbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}}{\underset{\text{2 volte}}{\underbrace{3\cdot 3}}}$

applicando la proprietà invariantiva possiamo dividere sia il dividendo, quello sopra, che il divisore, quello sotto, due volte per 3

$\frac{\stackrel{\text{5 volte}}{\overbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}}{\underset{\text{2 volte}}{\underbrace{3\cdot 3}}}=\frac{\stackrel{\text{due volte diviso 3}}{\overbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}}{\underset{\text{due volte diviso 3}}{\underbrace{3\cdot 3}}}=\frac{3^3}{1}=3^3$

e dedurre la proprietà della divisione di potenze aventi la stessa base

$3^5:3^2=3^{5-2}=3^3$

E quindi la regola generale, se $a,n,m\in \mathbb{N}\wedge a>0n>m>0$

$a^n:a^m=a^{n-m}$

Esponente zero

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Eccosi ad una prima grande sorpresa delle proprietà delle potenze, con l'uso appropriato dell'uguaglianza e rispettando le regole di calcolo possiamo dare significato a scritture come

$2^0=1$

infatti $2^0$ è il risultato di una divisione tra potenze aventi la stessa base e lo stesso esponente e quindi ecco la dimostrazione:

$2^0=2^{3-3}=2^3:2^3=8:8=1$

tutte le uguaglianze sono matematicamente vere e quindi possiamo affermare che 2 elevato a zero è uguale ad uno.

Anche in questo caso possiamo dedurre la regola generale, visto che non c'è nessuna particolarità nel numero 2 se non quella di essere maggiore di 0.

Sapendo che il simbolo $\mathrm{\forall }$ significa per qualsiasi possiamo enunciare la regola generale

$\mathrm{\forall }a>0$  $a^0=1$

Prodotto di potenze con stesso esponente (distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione)

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${(3\cdot 5)}^4=\underset{\text{4 volte}}{\underbrace{(3\cdot 5)\cdot (3\cdot 5)\cdot (3\cdot 5)\cdot (3\cdot 5)}}=\stackrel{\text{associativa e commutativa}}{\overbrace{\underset{\text{4 volte}}{\underbrace{(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)}}\cdot \underset{\text{4 volte}}{\underbrace{(5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)}}}}=3^4\cdot 5^4$

Applicando le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione è facile mostrare che la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze.

Generalizzando, se $a,b,n\in \mathbb{N}\wedge a>0b>0n⩾0$

${(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n$

Quoziente di potenze con lo stesso esponente (distributiva della potenza rispetto alla divisione)

Per la dimostrazione di questa proprietà la strada è un po' più lunga.

Per la definizione di divisione moltiplicando la divisione per il divisore si ottiene il dividendo

$(\frac{15}{5}\cdot 5)=15$

... e se due numeri sono uguali saranno uguali anche le loro potenze

${(\frac{15}{5}\cdot 5)}^2=15^2$

poichè abbiamo visto nel paragrafo precedente che la potenza è distributiva rispetto alla moltiplicazione possiamo applicarla al primo membro dell'uguaglianza

${\left(\frac{15}{5}\right)}^2\cdot 5^2=15^2$

e concludiamo applicando al contrario la definizione di divisione

${\left(\frac{15}{5}\right)}^2=\frac{15^2}{5^2}$

Possiamo così enunciare la proprietà generale, se $a,b,n\in \mathbb{N}\wedge a>0b>0n⩾0$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Potenza di potenza

Per un ripasso veloce di quanto detto, puoi guardare il video Template:YouTube.

La regola che ci permette di svolgere la potenza di potenza si comprende semplicemente scrivendo esplicitamente la base moltiplicata per se stessa il numero di volte indicato dagli esponenti presi in successione

${\left(5^2\right)}^3=\underset{\text{3 volte}}{\underbrace{5^2\cdot 5^2\cdot 5^2}}=\underset{\text{6 volte}}{\underbrace{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}=5^6=5^{2\cdot 3}$

Generalizzando, se $a,n,m\in \mathbb{N}\wedge a>0n⩾0m⩾0$

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

Esercizi per capire l'algebra delle potenze

<quiz display=simple> {$2^3\cdot 2^4=$ |type="()"} - $2^{12}$ - $2^8$ + $2^7$ - $2$

{$3^5:3^2=$ |type="()"} - $3^{10}$ + $3^3$ - $3^2$ - $2^3$

{$(3^2{)}^3=$ |type="()"} - $3^5$ + $3^6$ - $35$ - $323$

{$(5\cdot 7{)}^3=$ |type="()"} + $5^3\cdot 7^3$ - $5\cdot 7^3$ - $5^3\cdot 7$ - $35^9$

{${\left(\frac{6}{7}\right)}^2=$ |type="()"} - $\frac{6^2}{7}$ - $\frac{12}{14}$ - ${\left(\frac{6}{7}\right)}^4$ + $\frac{6^2}{7^2}$

{$4^2\cdot 2^3=$ |type="()"} + $128$ - ${(4\cdot 2)}^3$ - $3^7$ - $4^5$ </quiz>

Come scrivere numeri molto grandi con poche cifre - Notazione standard

La notazione standard è conosciuta anche come notazione esponenziale o notazione scientifica.

Per chi non ama leggere:

File:Notazione standard2.ogv

Per poter scrivere numeri molto grandi risparmiando sul numero di cifre utilizzate e accettando una ragionevole approssimazione si può ricorrere alla notazione standard il numero viene espresso attraverso un numero compreso tra 0 e 10 con due cifre decimali moltiplicato per una potenza di 10 opportuna.

$2.340.379.021\approx 2.340.000.000=2,34\cdot 10^9$

Ad esempio usando una calcolatrice scientifica per fare un calcolo con un risultato molto grande, più di dieci cifre ad esempio, il risultato potrebbe essere questo:

Display Calcolatrice notazione standard esponenziale

La calcolatrice avendo esaurito i posti per le cifre ci fornisce come risultato approssimato

$6,462...\cdot 10^{11}\approx 6.462.000.000$

600 miliardi e 462 milioni.

Calcoli in notazione standard

Fare calcoli con i numeri scritti in notazione standard necessita di un po' di cautela, partendo dagli esempi si possono trovare formule generali. Con

$a,b,n,m\in \mathbb{N}\wedge 0<a<100<b<10n⩾m⩾0$

Sommare due numeri che hanno la stessa potenza di 10

Per fare la somma

$5,3\cdot 10^{12}+2,4\cdot 10^{12}$

si usa la proprietà distributiva, infatti

$5,3\cdot 10^{12}+2,4\cdot 10^{12}=(5,2+2,4)\cdot 10^{12}=7,6\cdot 10^{12}$

...e nel caso la somma degli addendi decimali superasse il 10, dividendo la parte decimale e moltiplicando il fattore esponenziale

$7,3\cdot 10^{12}+4,9\cdot 10^{12}=12,2\cdot 10^{12}=1,22\cdot 10^{13}$

Quindi

$a\cdot 10^n+b\cdot 10^n=(a+b)\cdot 10^n$ 

tenendo conto che nel caso $a+b⩾10$
la forma corretta del numero si può ottenere facilmente $\frac{a+b}{10}\cdot 10^{n+1}$

Sommare due numeri che non hanno la stessa potenza di 10

Se le potenze del 10 sono poco differenti si può provare a ricondurre i due numeri alla stessa potenza

$2,1\cdot 10^{12}+4,4\cdot 10^{11}=2,1\cdot 10^{12}+0,44\cdot 10^{12}=2,54\cdot 10^{12}$

Se la differenza è più consistente, il numero con la potenza del 10 maggiore è più grande di almeno 100 volte, e quindi l'addendo più piccolo è trascurabile

$5,2\cdot 10^{12}+2,7\cdot 10^9$

nell'esempio si sta sommando $5,2\text{migliaia di miliardi}=10^{1}2$ con $2,7\text{ miliardi}=10^9$ il secondo addendo è piccolissimo rispetto al primo e quindi

$5,2\cdot 10^{12}+2,7\cdot 10^9\approx 5,2\cdot 10^{12}$

In generale se $n\gg m$ (n molto più grande di m)

$a\cdot 10^n+b\cdot 10^m\approx a\cdot 10^n$ 

Moltiplicazione in notazione standard

La moltiplicazione è piuttosto semplice in notazione standard, infatti la stessa notazione è già di per sé una moltiplicazione, e quindi applicando commutativa ed associativa si può facilmente calcolare il risultato che infine può essere ricondotto alla forma corretta

$4,3\cdot 10^9\cdot 7,4\cdot 10^{12}=\underset{\text{commutativa ed associativa}}{\underbrace{4,3\cdot 7,4\cdot 10^9\cdot 10^{12}}}=\underset{\text{moltiplicazione}}{\underbrace{(4,3\cdot 7,4)}}\cdot \underset{\text{moltiplicazione potenze}}{\underbrace{10^9\cdot 10^{12}}}=31,83\cdot 10^{9+12}=31,83\cdot 10^{21}\approx 3,2\cdot 10^{22}$

Divisione in notazione standard

Per procedere ad una divisione cominciamo con la proprietà invariantiva dividendo il dividendo ed il divisore per la potenza del 10 del divisore così

$\frac{8,1\cdot 10^{15}}{2,7\cdot 10^{12}}=\left(\frac{8,1\cdot 10^{15}}{10^{12}}\right):\left(\frac{2,7\cdot 10^{12}}{10^{12}}\right)=(8,1\cdot 10^3):2,7=\underset{\text{commutativa}}{\underbrace{(10^3\cdot 8,1)}}:2,7=10^3\cdot \frac{8,1}{2,7}=10^3\cdot 3=3\cdot 10^3$

Quiz per capire la notazione standard

<quiz>

{ $3400000=$ | type="()"} - $3,4\cdot 10^3$ - $34milioni$ + $3,4\cdot 10^6$ - $3,4\cdot 10^5$

{ $GliItalianisonocirca60milioni\approx$ | type="()"} + $6\cdot 10^7$ - $6000000$ - $6\cdot 10^6$ - $6\cdot 10^5$

{ $0,5\cdot 10^6$ | type="()"} - $5000000$ - $506$ - $mezzomiliardo$ + $mezzomilione$

{ $7,2\cdot 10^9$ | type="()"} + $7200000000$ - $720000000$ - $72000000000$ - $72miliardi$

{ $Dallaterraallalunacisono3,8\cdot 10^{5}km,viaggiandoa10000\frac{km}{h}e,peripotesi,inlinearetta,inquanteoresiarriverebbe$ | type="()"} + $38ore$ - $3oree48minuti$ - $milleore$ - $10ore$ </quiz>

Potenze con esponente negativo

Per operare con le potenze ad esponente negativo è necessario ricordarsi quanto detto per le proprietà delle potenze e per i numeri relativi. Ecco qui un video per togliervi ogni dubbio Template:YouTube

Test finale sulle potenze

<quiz>

{ $3^2\cdot 3^4=?$ | type="()"} - $3^8$ - $3^2$ + $3^6$

{ $2^5+2^2=2^7$ | type="()"} + falso - vero

{ $4^5:4^2=?$ | type="()"} - $4^7$ + $4^3$ - $2^3$

{ $7^5-7^2=7^3$ | type="()"} + falso - vero

{ ${\left(2^2\right)}^3=?$ | type="()"} + $2^6$ - $2^5$ - $8^3$

{ ${(5\cdot 3)}^2=?$ | type="()"} - $10\cdot 6$ - $15\cdot 2$ + $25\cdot 9$

{ $0,1^2\cdot 10^2=$ | type="()"} + $1$ - $0,001$ - $10^4$

{ $10^2:100^2=$ | type="()"} - $1$ + $0,01$ - $10^4$

</quiz>

Bibliografia

• staticmy.zanichelli.it

Collegamenti esterni

• staticmy.zanichelli.it
• Ubimath di Ubaldo Pernigo - Aritmetica – Elevamento a potenza