Integrali

integrali immediati

funzione data	integrale	funzione data	integrale
$x^m$	$\frac{x^{m+1}}{m+1}$	$co{s}^{2}x$	$tangx$
$a^x$	$\frac{a^x}{\log a}$	$-cos{c}^{2}x$	$cotangx$
$e^x$	$e^x$	$se{c}^{2}x$	$tangx$
$\frac{1}{x}$	$logx$	$-cose{c}^{2}x$	$cotangx$
$sinx$	$-cosx$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$arcsenx$
$cosx$	$senx$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$arccosx$
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{x}$
$\frac{1}{n{\sqrt[n]{x}}^{n-1}}$	$\sqrt[n]{x}$

integrali quasi immediati

1°) $\underset{}{\int }(ax+b{)}^{n}dx=\frac{1}{a}\underset{}{\int }(ax+b{)}^{n}d(ax+b)=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}$

2°) $\underset{}{\int }\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\underset{}{\int }\frac{d(ax+b)}{ax+b}=\frac{1}{a}\log (ax+b)$

3°) $\underset{}{\int }\frac{dx}{(ax+b{)}^n}=\frac{1}{a}\underset{}{\int }\frac{d(ax+b)}{(ax+b{)}^n}=\frac{1}{a(1-n)(ax+b{)}^{n-1}}$

4°) $\underset{}{\int }\frac{xdx}{a{x}^2+b}=\frac{1}{2a}\underset{}{\int }\frac{d(a{x}^2+b)}{a{x}^2+b}=\frac{1}{2a}\log (a{x}^2+b)$

5°) $\begin{array}{cc}\underset{}{\int }\frac{dx}{a{x}^2+b}& =\frac{1}{a}\underset{}{\int }\frac{dx}{x^2+c^2}=\frac{1}{ac}\underset{}{\int }\frac{d(\frac{x}{c})}{(\frac{x}{c}{)}^2+1}=\frac{1}{ac}arctang\frac{x}{c}\\ & =\frac{1}{a}\sqrt{\frac{a}{b}}arctang\sqrt{\frac{a}{b}}x\end{array}$

quando $\frac{b}{a}=c^2>0$

integrali non immediati

funzioni razionali

funzione razionale intera

$\underset{}{\int }(a_o{x}^n+a_1{x}^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_n)dx=a_o\frac{x^{n+1}}{n+1}+....+a_{n+1}$

funzione razionale fratta:$\frac{A(x)}{B(x)}$

Se il denominatore è tale che:

$B(x)=(x-\alpha )(x-\beta {)}^r[(x-ϵ{)}^2+{\delta }^2][x-\mu {)}^2+{\nu }^2{]}^s$

essendo: $\alpha$ una radice reale semplice,

$\beta$ una radice reale multipla,

$ϵ\pm i\delta$ due radici complesse semplici,

$\mu \pm i\nu$ due radici complesse multiple,

dell'equazione: $B(x)=0$, la frazione data si decompone nel seguente modo:

$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{c_1}{x-\alpha }+\frac{d_r}{(x-\beta {)}^r}+\frac{d_{r-1}}{(x-\beta {)}^{r-1}}+....+\frac{d_1}{x-\beta }+\frac{m_{1}x+n_1}{(x-ϵ{)}^2+{\delta }^2}+\frac{p_{s}x+q_s}{[(x-\mu {)}^2+{\nu }^2{]}^{s-}}+$

$+\frac{p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu {)}^2+{\nu }^2{]}^{s-1}}+....+\frac{p_{1}x+q_1}{(x-\nu {)}^2+{\nu }^2}$

dove le costanti $c_1,d_i,m_i,n_i,p_i,q_i$, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della $x$ dei due membri. L'integrazione della frazione $\frac{A_x}{B_x}$ è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

formule risolutive notevoli

A)$\underset{}{\int }\frac{A(x)dx}{(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)....(x-{\alpha }_n)}=\sum _{i=1}^n{c}_{i}log(x-{\alpha }_i)$

B)$\underset{}{\int }\frac{dx}{(a{x}^2+b{)}^2}=\frac{\sum _{i=1}^{i=n}{c}_{i}log(x-{\alpha }_i)}{(a{x}^2+b{)}^{n-1}}+c_n{I}_o(x)$

dove $I_o(x)=\underset{}{\int }\frac{dx}{a{x}^2+b}$

funzioni irrazionali

$a)\underset{}{\int }F[x,(ax+b{)}^{\frac{m}{n}},(ax+b{)}^{\frac{p}{q}}....(ax+b{)}^{\frac{r}{s}}]ds$

con F simbolo di funzione razionale.

Ponendo:$ax+b=t^{\mu }$ dove $\mu =m.c.m(n,q,...s)$, da cui: $adx=\mu t^{\mu -1}dt$, l'integrale diventa:

$\underset{}{\int }F(\frac{t^{\mu }-b}{a},t^m{q}_1,t^p{q}_2,...t^r{q}_k)\frac{\mu }{a}{t}^{\mu -1}dt$

con:$q_1=\frac{\mu }{n},q_2=\frac{\mu }{q},....q_k=\frac{\mu }{s},$

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

$1\underset{}{\int }\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$

Ponendo $x=t^2,dx=2tdt,t=\sqrt{x}$ si ha:

$\begin{array}{cc}\underset{}{\int }\frac{dx}{1+\sqrt{x}}& =2\underset{}{\int }\frac{tdt}{1+t}=2t-2\log (1+t)\\ & =2\sqrt{x}-2\log (1+\sqrt{x})\end{array}$

$2\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt[3]{x}-1}$

Posto $x=t^3$ onde $dx=3t^{2}dt$ si ha:

$\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt[3]{x}-1}=\underset{}{\int }\frac{1}{t-1}3t^{2}dt=3\underset{}{\int }\frac{t^2}{t-1}dt$

Ora, $\frac{t^2}{t-1}=1+t+\frac{1}{t-1},$ quindi

$\underset{}{\int }\frac{t^2}{t-1}dt=t+\frac{t^2}{2}+\log (t-1);$

allora, per $t=\sqrt[3]{x},$

$\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt[3]{x}-1}=3[\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2}{\sqrt[3]{x}}^2+\log (\sqrt[3]{x}-1)]$

$b)\underset{}{\int }F(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$

con F simbolo di funzione razionale.

I°) Se a>0, si pone: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x,$ da cui:

$x=\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b},dx=2\frac{(t^2+c)\sqrt{a}+bt}{(2t\sqrt{a}+b{)}^2}dt,t=x+\sqrt{a{x}^2+bx+c}$

$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\frac{(t^2+c)\sqrt{a}+bt}{2t\sqrt{a}+b}$

Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.

esempio

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}}dx$

Poniamo: $\sqrt{x^2-4x+5}=t-x$ da cui

$x=\frac{1}{2}\frac{t^2-5}{t-2},dx=\frac{t^2-4t+5}{2(t-2{)}^2}dt,t=x+\sqrt{x^2-4x+5};$

$\sqrt{x^2-4x+5}=\frac{t^2-4t+5}{2(t-2)}$

allora, a meno di una costante:

$\underset{}{\int }\frac{1}{\frac{t^2-4t+5}{2(t-2)}}\frac{1}{2}\frac{t^2-4t+5}{(t-2{)}^2}dt=\underset{}{\int }\frac{dt}{t-2}=\log (t-2);$

si ha quindi:

$\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt{x^2-4x+5}}=\log (x+\sqrt{x^2-4x+5}-2)$

funzioni trascendenti

$a)\underset{}{\int }F(senx,cosx)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $t=tang\frac{x}{2},$ da cui: $dx=\frac{dt}{1+t^2},senx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\underset{}{\int }\frac{dx}{senx+cosx}$

Ricordato che

$senx=\frac{2tang\frac{x}{2}}{1+tan{g}^2\frac{x}{2}}cosx=\frac{1-tan{g}^2\frac{x}{2}}{1+tan{g}^2\frac{x}{2}}$

si porrà: $tang\frac{x}{2}=t$ da cui $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{co{s}^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}(1+t^2);$

allora:$\underset{}{\int }\frac{dx}{senx+cosx}=\underset{}{\int }\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}dt=\int \frac{2dt}{-t^2+2t+1},$

con che la funzione da integrare è una funzione razionale.

$b)\underset{}{\int }F(tangx)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $tangx=t$, da cui $dx=\frac{dt}{1+t^2},$ e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio

$\underset{}{\int }tangxdx=\underset{}{\int }\frac{t}{1+t^2}dt=\frac{1}{2}lo{g}_e(1+t^2)=\frac{1}{2}{\log }_e(1+tn{g}^{2}x)$

$c)\underset{}{\int }F(e^{ax})dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone : $e^{ax}=t,$ da cui $x=\frac{1}{a}logt,dx=\frac{dt}{dx}$ e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int \frac{1}{1+e^x}dx$

Posto $e^x=t,$ da cui $\frac{dt}{dx}=e^x=t,$ si ha:

$\int \frac{dx}{1+e^x}=\int \frac{dt}{t(1+t)}=logt-log(1+t),$ e

$\int \frac{dx}{1+e^x}=log{e}^x-log(1+e^x)=x-log(1+e^x)$

$d)$ Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

I° $\int F(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$, con F simbolo di funzione razionale.

si pone: $x=asent,$ onde:

$\int F(x,\sqrt{a^2-x^2})dx=\int F(asent,acost)acostdt$

esempio

$\int \frac{5}{\sqrt{5^2-x^2}}dx$

Si pone $x=5sent,$ da cui: $dx=5costdt,$ e $t=arcsen\frac{x}{5}.$

Allora:

$\int \frac{x}{\sqrt{5^2-x^2}}dx=\int \frac{5sent}{\sqrt{5^2-5^{2}se{n}^{2}t}}5costdt=-5cost$

Sostituendo i ha: $-5cosarcsen\frac{x}{5}=-\sqrt{5^2-x^2}.$

II° $\int F(x,\sqrt{a^2+x^2})dx$

Si pone: $x=atangt$ ovvero $x=asinhx,$ da cui:

$dx=ase{c}^{2}tdtdx=acoshtdt$

Allora:

$\int (x,\sqrt{a^2+x^2})dx=\int F(atangt,asect)ase{c}^{2}tdt$

ovvero

$=\int F(asenht,acosht)acoshtdt.$

esempio

III° $\int F(x,\sqrt{x^2-a^2})dx$

$e)$ Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo $cosx=t$ ovvero $senx=t$, si ha:

$\underset{}{\int }senxF(se{n}^{2}x,cosx)dx=-\underset{}{\int }F(t-t^2,t)dt$

$\underset{}{\int }cosxF(co{s}^{2}x,senx)dx=\underset{}{\int }F(1-t^2,t)dt$

con F simbolo di funzione razionale.

$f)formulenotevolidiriduzione$

Esercizi

esercizio 1°

$\underset{}{\int }\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$

Si ha: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ,

$\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{c_1}{x-2}+\frac{c_2}{x-3}$ ,

$x+1=(c_1+c_2)x-3c_1-2c_2$ ,

da cui:

$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_2=1\\ -3c_1-2c_2=1\end{array}$

Risolvendo il sistema si ha:$c_1=-3$ e $c_2=4$

Quindi:

$\underset{}{\int }\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\underset{}{\int }\frac{-3}{x-2}dx+\underset{}{\int }\frac{4}{x-3}dx=log\frac{(x-3{)}^4}{(x-2{)}^3}$

esercizio 2°

$\underset{}{\int }\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx$

Eseguendo la divisione si ha:

$\underset{}{\int }\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{(x-1)(x^2+1)}$

Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio precedente si trova:

$\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=\frac{c_1}{x-1}+\frac{c_{2}x+c_2}{x^2+1}=\frac{3}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{x+1}{x^2+1}$

Quindi:

$\underset{}{\int }\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx=x+\frac{3}{2}log(x-1)-\frac{1}{4}log(x^2+1)-\frac{1}{2}arctang(x)=$

$=x+log\sqrt{\frac{(x-1{)}^3}{\sqrt{(}{x}^2+1)}}-\frac{1}{2}arctang(x)$

esercizio 3°

$\int \frac{x^3-x^2+1}{(1+x^2{)}^3}dx$

Applicando la formula notevole $\int \frac{A(x)}{(a{x}^2+b{)}^n}dx=\frac{?}{(a{x}^2+n{)}^{n-1}}+c_{2n-1}\log (a{x}^2+b)+c_{2n}{I}_0(x)$