Metodo analitico per il calcolo dei decibel

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L'obiettivo di questa risorsa è spiegare come sia possibile calcolare, con un buon grado di approssimazione, i decibel di un rapporto di potenze; eseguire l'operazione inversa e alcune altre operazioni di interesse pratico senza l'ausilio di calcolatrici.

Tutto si basa sulla definizione di decibel e su alcune proprietà dei logaritmi (non è necessaria una loro conoscenza approfondita per proseguire nella lettura). Va da sé che quello che si tratterà potrà essere applicato a ogni altro settore scientifico o sociale dove vengono coinvolti i logaritmi.

Decibel: come stimarli

La definizione di decibel – in qualsivoglia ambito – è legata al rapporto di potenze (o tensioni, ma anche correnti) ed è la seguente:

$dB=10{\log }_{10}\left(\frac{P_U}{P_I}\right)$,

dove $dB$ è il simbolo dei decibel, $P_U$ è la potenza in uscita, mentre $P_I$ rappresenta la potenza in ingresso.

Partendo da questa definizione, l'utilizzo della calcolatrice appare inevitabile. Tuttavia, per agevolare il calcolo dei decibel, è sufficiente ricordare soltanto due rapporti notevoli: la decade e l'ottava.

Definizioni di decade e ottava

Decade	Ottava
$dB=10{\log }_{10}\left(\frac{P_U}{P_I}\right)=10{\log }_{10}\left(10\right)=10\text{dB}$	$dB=10{\log }_{10}\left(\frac{P_U}{P_I}\right)=10{\log }_{10}\left(2\right)\simeq 3\text{dB}$

Partendo da questi due termini noti ($10\text{dB}$ sono pari a una decade, mentre $3\text{dB}$ corrispondono a un'ottava, ovvero a un raddoppio della potenza) è possibile ricavare i rapporti di potenza per tutti gli altri casi. Naturalmente è opportuno fare attenzione all'ottava, poiché il valore $3\text{dB}$ è figlio di un'approssimazione e---come tale---andrà usato con parsimonia.

Per procedere è fondamentale ricordare due proprietà fondamentali dei logaritmi:

$\begin{array}{c}{\log }_a(x\cdot y)={\log }_a(x)+{\log }_a(y),\\ {\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a(x)-{\log }_a(y).\end{array}$

Da queste premesse si ricava la tabella che segue, nella quale vengono riportati i rapporti di potenza per i decibel da 1 a 10. È importante sottolineare che non è necessario (anzi, è fortemente sconsigliato) memorizzare la tabella. Infatti, è sufficiente ricordare i concetti di decade (rapporto pari a 10) e ottava (rapporto pari a 2) e – da questi – far discendere tutti gli altri termini.

decibel	$\frac{P_U}{P_I}$	Calcolo analitico	${\text{dB}}_{APPROX}$	${ϵ}_{\mathrm{\%}}$
$1\text{dB}$	1,2589	$10\text{dB}-3\text{dB}-3\text{dB}-3\text{dB}$	1,25	0,71 %
$2\text{dB}$	1,5849	$3\text{dB}+3\text{dB}+3\text{dB}+3\text{dB}-10\text{dB}$	1,60	0,95 %
$3\text{dB}$	1,9953	$3\text{dB}$	2,00	0,24 %
$4\text{dB}$	2,5119	$10\text{dB}-3\text{dB}-3\text{dB}$	2,50	0,47 %
$5\text{dB}$	3,1623	$3\text{dB}+3\text{dB}+3\text{dB}+3\text{dB}+3\text{dB}-10\text{dB}$	3,20	1,19 %
$6\text{dB}$	3,9811	$3\text{dB}+3\text{dB}$	4,00	0,48 %
$7\text{dB}$	5,0119	$10\text{dB}-3\text{dB}$	5,00	0,24 %
$8\text{dB}$	6,3096	$10\text{dB}+10\text{dB}-3\text{dB}-3\text{dB}-3\text{dB}-3\text{dB}$	6,25	0,94 %
$9\text{dB}$	7,9433	$3\text{dB}+3\text{dB}+3\text{dB}$	8,00	0,71 %
$10\text{dB}$	10,0000	$10\text{dB}$	10,00	0,00 %

In tabella sono evidenziati i termini relativi all'ottava e alla decade (i quali non necessitano di alcun calcolo). Tutti gli altri si ricavano per somme e sottrazioni le quali – come evidenziato dalle proprietà dei logaritmi – per quanto riguarda gli argomenti trasformano i prodotti in somme e i rapporti in sottrazioni.

Nella colonna ${\text{dB}}_{APPROX}$, vengono riportati i rapporti di potenza approssimati con il calcolo suggerito. Si noti che è sempre garantita una discreta approssimazione, accettabile per una prima indagine. Infatti, nell'ultima colonna, viene mostrato l'errore relativo percentuale (${ϵ}_{\mathrm{\%}}$), il quale ha un valor medio pari a 0,5936 %.

Gli esercizi svolti, chiariranno eventuali dubbi, oltre a mostrare interessanti applicazioni. Pertanto, si suggerisce di tentare di risolverli da sé, prima di leggerne la soluzione. Tutto è riconducibile a prodotti e divisioni di potenze intere di 10 e di 2.

Tensioni e correnti

Per quanto riguarda i decibel derivanti da rapporti di tensioni o correnti tra uscita e ingresso di un quadripolo, il desiderio del progettista è mantenere gli stessi valori ottenuti mediante i decibel calcolati in potenza. Questo porta a modificare la definizione di decibel come segue:

$dB=10{\log }_{10}\left(\frac{P_U}{P_I}\right)=10{\log }_{10}\left(\frac{V_U^2/R}{V_I^2/R}\right)=10{\log }_{10}{\left(\frac{V_U}{V_I}\right)}^2=20{\log }_{10}\left(\frac{V_U}{V_I}\right)$

Da quest'espressione discendono i decibel nella loro eccezione più generale: in potenza, in tensione e in corrente.

$\{\begin{array}{c}dB=10{\log }_{10}\left(\frac{P_U}{P_I}\right)\\ dB=20{\log }_{10}\left(\frac{V_U}{V_I}\right)\\ dB=20{\log }_{10}\left(\frac{I_U}{I_I}\right)\end{array}$

La dimostrazione dell'equazione sovrastante relativa alla corrente è lasciata allo studente (come si direbbe nei testi universitari). Per dimostrarla è sufficiente ricordare che $P=V\cdot I=(R\cdot I)\cdot I=R\cdot I^2$, e procedere come nella caso precedente.

Esempi di calcoli e approssimazioni

Calcolare l'incremento di potenza che si ha per un'amplificazione pari a $8\text{dB}$

Per ottenere il risultato si procede così:

$8\text{dB}=2\cdot (10\text{dB})-4\cdot (3\text{dB})=\frac{10^2}{2^4}=\frac{100}{16}=6,25$

Non è stato necessario usare la calcolatrice. Va però ricordato che si tratta di un'approssimazione, infatti 8 dB sono pari ad un rapporto di potenze pari a 6,3096, ma per una prima analisi approssimativa è più che decoroso, come risultato.

Da notare, soprattutto, che i decibel vengono utilizzati poiché il rapporto in potenza tra uno e il successivo è costante ed è pari a:

$\sqrt[10]{10}=1,2589\simeq \frac{5}{4}.$

Valutare l'errore di approssimazione che si commette stimando $30\text{dB}$ rispettivamente con decadi e con ottave

Procedendo con i due calcoli (per ottave e per decadi) si ottiene:

$\begin{array}{cc}& 30\text{dB}=3\cdot 10\text{dB}=3\cdot 10{\log }_{10}(10)=10^3=1000\\ & 30\text{dB}=10\cdot 3\text{dB}=10\cdot 10{\log }_{10}(3)=2^{10}=1024\end{array}$

Pertanto l'errore commesso è pari a:

${ϵ}_{\mathrm{\%}}=\frac{|1000-1024|}{1000}=2,4\mathrm{\%}$

Dunque l'errore c'è (e si vede!), in questo caso è del 2,4 %. Tutto sta nel decidere quale errore si è disposti a tollerare.

È bene ricordare – anche a costo d'essere noiosi – che il valore $3\text{dB}$ correlato all'ottava è un dato approssimato. In questo esercizio se ne è avuta la dimostrazione.

Calcolare la potenza in ingresso per un amplificatore avente $P_U=16\text{W}$ e guadagno pari a $44\text{dB}$

Questo esercizio implica un calcolo in più del primo esercizio. Procedendo con ordine, si calcola innanzitutto il rapporto tra potenza in uscita e potenza in ingresso per l'amplificatore dato.

$44\text{dB}=50\text{dB}-6\text{dB}\Rightarrow \frac{P_U}{P_I}=\frac{10^5}{2^2}=\frac{100000}{4}=25000\text{W/W}$

Nota l'amplificazione in potenza è immediato ricavare la potenza in ingresso:

$P_I=\frac{P_U}{25000}=\frac{16\text{W}}{25000}=640\mu \text{W}.$

Si vuole conoscere l'attenuazione di un segnale d'ingresso a $12\text{V}$ dopo aver attraversato un amplificatore a $-34\text{dB}$

Questo esercizio pone due ostacoli che – se individuati – sono facilmente superabili. Un primo è il segnale in ingresso in tensione: questo significa che i decibel vanno calcolati per le tensioni, non per le potenze. Il secondo è l'attenuazione: l'amplificazione è negativa, quindi in uscita ci si aspetterà una tensione più bassa.

Per il resto è del tutto analogo agli esercizi con decibel in potenza.

$-34\text{dB}=-40\text{dB}+6\text{dB}\Rightarrow \frac{V_U}{V_I}=\frac{2^1}{10^2}=0,02\text{V/V}$

Infine si ha:

$\frac{V_U}{V_I}=0,02\text{V/V}\Rightarrow V_U=V_I\cdot 0,02=12\text{V}\cdot 0,02=240\text{mV}.$

Calcolare approssimativamente, senza calcolatrice, la radice quadrata di 0,0016

L'esercizio apparentemente non ha nulla a che vedere con i decibel. Però se ricordiamo il fattore moltiplicativo (10 per le potenze, 20 per le tensioni) notiamo come l'argomento del logaritmo dei decibel calcolati in tensione è il quadrato dell'argomento dei decibel calcolati in potenza.

Si ha quindi:

$10{\log }_{10}(a)=20{\log }_{10}(b)\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=b^2\\ b=\sqrt{a}\end{array}$

Considerando $a=0,0016$ si ottiene:

$\frac{P_U}{P_I}=0,0016=\frac{2^4}{10^4}\Rightarrow 4\cdot 3\text{dB}-4\cdot 10\text{dB}=-28\text{dB}.$

Ora, noto questo risultato, si ricerca l'argomento che lo genera (in tensione):

$-28\text{dB}=2\cdot (-20\text{dB})+2\cdot 6\text{dB}\Rightarrow \frac{V_U}{V_I}=\frac{2^2}{10^2}=0,04.$

Infatti, usando la buon vecchia calcolatrice, si scopre che $\sqrt{0,0016}=0,04$.

Esempi tratti dalla vita quotidiana

Di seguito vengono riportati alcuni esempi e applicazioni dei decibel tratti dalla vita quotidiana. La maggior parte di questi sono noti a chiunque abbia una scolarità elementare.

La scala Richter

La magnitudo di un terremoto espressa mediante la scala Richter è data dal logaritmo in base dieci del massimo spostamento della traccia (rispetto allo zero, espresso in micron) di un sismografo a torsione di Wood-Anderson, calibrato in maniera standard, come se l'evento si fosse verificato a una distanza epicentrale di 100 km.

La formula originale per il suo calcolo è quindi la seguente:

$M_L={\log }_{10}(A)-{\log }_{10}(A_0(\delta ))={\log }_{10}\left(\frac{A}{A_0(\delta )}\right)$

dove $A$ è l'escursione massima del sismografo di Wood-Anderson, mentre la funzione empirica $A_0$ dipende soltanto dalla distanza della stazione dall'epicentro $\delta$.

Nella tabella che segue sono riportate le descrizioni associate alle varie magnitudo della scala Richter. Due sole note molto importanti per evitare dubbi e confusioni:

• questa è una scala logaritmica, il che significa che – per esempio – passando da una magnitudo 4,0 a una magnitudo 4,3 vi è un raddoppio della potenza distruttiva del terremoto. I decimali, quindi, non sono cosa di non poco conto;
• sovente la Protezione Civile fornisce dati che poi rettifica (abbassando o alzando la magnitudo dichiarata in primissima istanza). Non si tratta di sedicenti complotti o altro: semplicemente il primissimo dato è molto approssimato e serve per capire qual è stata l'entità del terremoto; dopodiché vengono eseguite misurazioni più accurate le quali restituiscono la reale magnitudo dell'evento. In ogni caso la fonte più attendibile non è una qualsivoglia piattaforma di interazione sociale (Facebook & co.), ma l'Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia.

Scala Richter: effetti e frequenze dei diversi terremoti

Magnitudo	Descrizione	Effetti del terremoto	Frequenza
$<2,0$	Micro	Micro terremoti, non avvertiti	Circa 8 000 al giorno
$2,0÷2,9$	Molto leggero	Generalmente non avvertito, ma registrato dai sismografi	Circa 1 000 al giorno
$3,0÷3,9$		Spesso avvertito, ma generalmente non causa danni	49 000 all'anno
$4,0÷4,9$	Leggero	Oscillazioni evidenti per gli oggetti interni; i danni strutturali agli edifici sono rari	6 200 all'anno
$5,0÷5,9$	Moderato	Può causare gravi danni strutturali agli edifici costruiti male in zone circoscritte. Danni minori agli edifici costruiti con moderni criteri antisismici	800 all'anno
$6,0÷6,9$	Forte	Può avere un raggio di azione di 160 km dove può essere distruttivo se la zona è densamente popolata	120 all'anno
$7,0÷7,9$	Molto forte	Può causare gravi danni su zone estese	18 all'anno
$8,0÷8,9$	Fortissimo	Può causare fortissimi danni in un raggio di azione di parecchie centinaia di chilometri	1 all'anno
$9,0÷9,9$		Può causare devastazioni in un raggio di azione di parecchie migliaia di chilometri	1 ogni 20 anni
$>10$	Enorme	Devastazione totale; il raggio di azione può essere molto esteso	Mai registrato

In tabella sono riportate le varie magnitudo, il termine con cui vengono descritte, i danni provocati e la loro frequenza con la quale si verificano nel pianeta.

Le note musicali

Le note musicali e le loro frequenze

Un altro esempio è costituito dalla scala musicale. La musica occidentale è composta di sette note e cinque alterazioni, in tutto 12 semitoni. Il tutto viene suddiviso per ottave, ovvero: a ogni ottava la frequenza raddoppia.

Per dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore o semitono diatonico e cromatico si impone che la frequenza di una nota, rispetto alla successiva, debba variare di un fattore costante, tale che – la variazione complessiva in un'ottava – comporti un raddoppio della frequenza:

$\sqrt[12]{2}\simeq 1,0594630943593.$

Da qui si ricavano tutte le frequenza dei diversi strumenti musicali, imponendo al La centrale la frequenza di 440 Hz.

Il modo di dire "dare un La", deriva appunto da questo: quando il direttore d'orchestra chiede al primo violino un La a 440 Hz lo fa affinché tutti gli altri strumenti si accordino sulla sua frequenza.

Una curiosità: alcuni direttori d'orchestra furbini chiedono al primo violino di dare un La eccedente (per esempio a 445 Hz). Lo fanno per esaltare – caso classico l'opera lirica – gli acuti dei soprani e tenori i quali, a loro volta, non saranno molto contenti per due ragioni: se sbagliano il pubblico darà a loro la colpa; inoltre loro probabilmente hanno un orecchio assoluto, ovvero distinguono le note musicali senza ascoltarle in precedenza, quindi sanno che il direttore ha barato, ma questo non vale per la maggior parte del pubblico che fischierà loro e non il direttore d'orchestra.

Il pH

In chimica il pH è un'unità di misura dell'acidità di una sostanza disciolta nell'acqua. L'acqua pura a 25 °C ha il cosiddetto valore di riferimento (detto di pH neutro) fissato a 7,0. Soluzioni con pH minori di 7 si definiscono acide, mentre le soluzioni con pH superiori a 7 vengono definite basiche o alcaline.

Il pH viene definito come il logaritmo negativo dell'attività dello ione idrogeno in una soluzione acquosa, vale a dire:

$pH=-{\log }_{10}\left(a_H^{+}\right)={\log }_{10}\left(\frac{1}{a_H^{+}}\right)$

Dove $a_H^{+}$ rappresenta l'attività adimensionale dei cationi ossonio $H_3{O}^{+}$, coincidenti con la concentrazione molare dei medesimi in soluzioni acquose sufficientemente diluite. Pertanto una definizione più frequentemente utilizzata della precedente è la seguente:

$pH=-{\log }_{10}\left(H_3{O}^{+}\right)={\log }_{10}\left(\frac{1}{H_3{O}^{+}}\right)$

Valori rappresentativi di pH

Sostanza	pH
Acido cloridrico, 1 M	$<1,0$
Batteria acida	$1,5$
Succo gastrico	$1,5÷2,0$
Succo di limone	$2,4$
Coca Cola	$2,5$
Aceto	$2,9$
Succo di arancia o mela	$3,5$
Birra	$4,5$
Pioggia acida	$<5,0$
Caffè	$5,0$
Tè o pelle sana	$5,5$
Acqua deionizzata a 25 °C	$5,0÷6,0$
Latte	$6,5$
Acqua pura a 25 °C	$7,0$
Saliva umana normale	$6,5÷7,4$
Sangue	$7,34÷7,45$
Acqua di mare	$7,7÷8,3$
Sapone per le mani	$9,0÷10,0$
Ammoniaca domestica	$11,5$
Varechina	$12,5$
Soda caustica	$13,5$
Idrossido di sodio	$13,9$

Il pH – nell'esperienza quotidiana – assume valori tipici compresi tra 0 (acido forte) e 14 (base forte) come illustrato in tabella. Al valore intermedio di 7 corrisponde, come anticipato, la condizione di neutralità.

Volendo applicare rigorosamente la definizione si evince come il pH possa assumere tutti i valori compresi tra $\pm \mathrm{\infty }$ in particolari soluzioni; ad esempio una soluzione di "oleum" (acido solforico concentrato saturato con triossido di zolfo) presenta un pH pari a $-13$.

La valuta

Banconote di valuta straniera

Questa proprietà è utilizzata anche nella vita di ogni giorno. Un esempio sono le banconote di qualsiasi valuta, tutte quante vengono emesse in soli tre tagli: 1, 2 e 5 (con i relativi multipli e sottomultipli).

Questo avviene per mantenere i rapporti tra i vari tagli di banconote pressoché identici senza introdurre calcoli complessi. Infatti, se si fosse optato per una progressione in ragione pari a 2, si sarebbero ottenuti tagli di 1, 2, 4, 8, 16 €... ovvero tutti discendenti da con $n$ intero (positivo o nullo), un po' complicato per chi possiede la sola licenza elementare.

Un buon risultato lo si ottiene sostituendo il 4 con il 5. Tra 1 e 2 vi è un raddoppio, tra 2 e 5 un fattore 2,5, mentre tra 5 e 10 di nuovo un raddoppio. A questo punto il ciclo continua con buona pace di venditori ed acquirenti che possono fare la spesa senza portarsi appresso un dottorato di ricerca in economia e finanza.

L'esempio non è stato tratto dalla nostra valuta: infatti chi ha girato il mondo vi potrà confermare che non esistono tagli di banconote e monete diverse da 1, 2 e 5 (moltiplicate per $10^n$, con $n$ intero).

Acustica

Concludiamo questa rassegna di esempi con il più noto in assoluto: l'utilizzo dei decibel in acustica. L'orecchio umano non risponde in maniera lineare alle diverse intensità sonore, per questo si utilizza una scala logaritmica per definire cos'è un sussurro e cos'è un boato.

In acustica vengono usati i $d{B}_{SPL}$:

$SPL=10{\log }_{10}\left(\frac{P^2}{P_0^2}\right)=20{\log }_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right),$

dove $P_0=20\mu P$ e indica la pressione sonora corrispondente alla soglia di udibilità.

In modo del tutto analogo viene definita l'intensità acustica, la quale si misura in $d{B}_{IL}$ ed è pari a:

$IL=10{\log }_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right).$

Anche in questo caso $I_0=10^{-12}{\text{W⁄m}}^2$ corrisponde al livello di potenza acustica della soglia dell'udibilità.