Anelli e sottoanelli

Definizione e proprieta'

Sia $A$ un insieme non vuoto, e siano $f$ e $g$ due operazioni binarie di $A$. La struttura $<A,f,g>$ si dice un anello se $f$ e $g$ godono delle seguenti proprietà:

1. $<A,f>$ è un gruppo abeliano;
2. $<A,g>$ è un semigruppo;
3. $g$ è distributiva (sia a destra sia a sinistra) rispetto a $f$.

Se sono soddisfatte le proprietà, $A$ si dice sostegno dell'anello.

Per facilitare la comprensione degli argomenti successivi, si usano per $f$ e $g$ rispettivamente la notazione additiva $+$ e quella moltiplicativa $\cdot$ . Inoltre un anello $<A,+,\cdot >$, ove possibile, sarà denotato con $A$. Quindi un anello sarà una struttura $<A,+,\cdot >$ che soddisfa le seguenti proprietà:

1. $<A,+>$ è un gruppo abeliano
2. $<A,\cdot >$ è un semigruppo
3. $a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca$

$<A,+>$ si dice gruppo abeliano additivo e $<A,\cdot >$ si dice un semigruppo moltiplicativo. Per la proprietà 1., ovviamente risulta essere $x+y=y+x\mathrm{\forall }x,y\in A$. Quindi $x$ e $y$ si dicono permutabili se vale $xy=yx$.

Regole di calcolo in un anello

Sia $A$ un anello. Allora valgono le seguenti regole del calcolo discendenti dalle proprietà di un anello, che ricordiamo:

• Da $A$ gruppo abeliano additivo, $\mathrm{\forall }x,y\in A,\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{Z}$:
  • $(m+n)x=mx+nx$
  • $m(nx)=(mn)x=n(mx)$
  • $n(x+y)=nx+ny$
• Da $A$ semigruppo moltiplicativo, $\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{Z}$:
  • $x^m{x}^n=x^{m+n}=x^n{x}^m$
  • $(x^m{)}^n=x^{mn}=(x^n{)}^m$

Oltre alle regole sopra citate, ci sono nuove regole ottenute grazie alla proprietà distributiva, $\mathrm{\forall }x,y,z\in A,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$:

• $x0=0=0x$;

Template:Cassetto3b

• $(-x)y=-(xy)=x(-y)$;

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• $(-x)(-y)=xy$;

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• $x(y-z)=xy-xz$ e $(y-z)x=yx-zx$;

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• $(nx)y=n(xy)=x(ny)$.

Elementi di calcolo combinatorio

Riprendiamo alcuni argomenti di teoria degli insiemi. Se $S$ e $T$ sono due insiemi finiti, con $|S|$ si intende il numero degli elementi di $S$, con $P(S)$ l'insieme delle parti di $S$, con $T^S$ l'insieme delle applicazioni di $S$ in $T$ e con $Sym(S)$ il gruppo delle permutazioni di $S$. Inoltre se $R$ è una relazione d'equivalenza in $S$, allora $S/R$ è l'insieme quoziente di $S$ su $R$.

Ricordiamo alcuni risultati generali (senza dimostrazione):

1. $|P(S)|=2^{|S|},|T^S|=|T{|}^{|S|},|Sym(S)|=|S|!$
2. Siano $S$ e $T$ due insiemi finiti e non vuoti, con $n=|S|\le |T|=k$. Allora esistono applicazioni iniettive di $S$ in $T$, e il loro numero è $n(n-1)\dots (n-k+1)$
3. Siano $S$ e $T$ due insiemi infiniti. Allora:
   • $|S\times T|=|S|\cdot |T|$
   • $|S\cup T|=|S|+|T|-|S\cap T|$
4. Se $S$ è un insieme finito e $R$ è una relazione d'equivalenza in $S$ tale che per ogni $x\in S$ accade che $|[x{]}_R|=k$, allora: $|S|=k\cdot |S/R|$

Sia $S$ un insieme costituito da $n\ge 1$ elementi. Per ogni $0\le k\le n$, $S$ possiede sottoinsiemi di $k$ elementi. Una $k$-parte di $S$ è un sottoinsieme di $S$ costituito da $k$ elementi.

Con $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ si denota il numero delle $k$-parti di $S$, che si legge "n su k" e si chiama coefficiente binomiale d'ordine n e indice k.

Per ogni $n\ge 1$ e per ogni $0\le k\le n$, valgono le seguenti uguaglianze:

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})$  ; $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})=n$  ; $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$

Una proposizione importante è la seguente (senza dimostrazione):
$\mathrm{\forall }n\ge 1,\mathrm{\forall }k:1\le k\le n,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}$

Teorema binomiale

Adesso si può procedere al famoso: Template:Matematica voce Template:Cassetto3b

Come immediata conseguenza, se l'anello $A$ è commutativo, ossia se il monoide moltiplicativo è commutativo, allora la formula vale per ogni $a$ e $b$ in $A$.

zero divisori, domini e campi

Quando il prodotto di due numeri è zero, allora ci viene automatico pensare che se il prodotto è nullo uno dei due fattori (o tutti e due) è certamente nullo. E questo vale in $\mathbb{Q},ℝ$ e in qualsiasi altro campo e dopo vedremo il motivo. Ma non è valido in generale per tutti gli anelli e quando un numero b non nullo, moltiplicato per un altro numero a non nullo anch'esso da come risultato 0, b viene detto zero-divisore .

La cosa a prima vista può lasciare perplessi (essendo di solito abituati a lavorare con i numeri reali), ma ora vedremo un esempio pratico che mostrera' come effettivamente esistono anelli contenenti elementi non nulli divisori dello zero. Prendiamo l'insieme $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$, cioè l'anello delle classi di resto modulo 6. Vediamo innanzitutto che sia un anello e di che tipo sia. Ma per fare questo è necessario considerare il caso generale.

• $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ riguardo l'addizione è certamente un gruppo abeliano perché abbiamo visto che in ${\mathbb{Z}}_n$ l'addizione tra interi è compatibile con la congruenza. È quindi possibile sommare classi di resto come sommare interi e quindi abbiamo visto che $({\mathbb{Z}}_n,+)$ è un gruppo (abeliano, oltretutto).
• verifichiamo ora innanzitutto che anche l'operazione prodotto tra interi sia compatibile con la congruenza. Verifichiamo quindi che

$\{\begin{array}{c}a\equiv b(n)\\ a^{\prime }\equiv b^{\prime }(n)\end{array}\Rightarrow a{a}^{\prime }\equiv b{b}^{\prime }(n)$ Possiamo allora scrivere le due congruenze come $\{\begin{array}{c}a=nq+b\\ a^{\prime }=n{q}^{\prime }+b^{\prime }(n)\end{array}$ Svluppando i calcoli otteniamo $a\cdot a^{\prime }=(nq+b)\cdot (n{q}^{\prime }+b^{\prime })=n^{2}q{q}^{\prime }+nq{b}^{\prime }+n{q}^{\prime }b+b{b}^{\prime }=n(nq{q}^{\prime }+q{b}^{\prime }+q^{\prime }b)+b{b}^{\prime }\iff a\cdot a^{\prime }\equiv b\cdot b^{\prime }(n)$

Quindi la moltiplicazione di interi è compatibile con la congruenza modulo n e possiamo definire il monoide commutativo $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ e quindi ottenere che $[a][b]=[ab],\mathrm{\forall }a,b\in {\mathbb{Z}}_n$. Infatti, essendo valide la proprieta' del monoide moltiplicativo degli interi (elemento neutro, commutatività e proprieta' associativa) esse continueranno ad essere valide anche per $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ avendo infatti appena verificato che la relazione di congruenza e la moltiplicazione di interi sono compatibili.

Tornando al nostro esempio di $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$, in baso alla dimostrazione precedente, esso sarà quindi "composto" da il gruppo abeliano $({\mathbb{Z}}_6,+)$ e il monoide commutativo $({\mathbb{Z}}_6,\cdot )$ ed è perciò un anello commutativo con 6 elementi, ovvero $[0],[1],[2],[3],[4],[5]$ Questo anello ha degli elementi zero-divisori, ovvero elementi diversi da zero il cui prodotto è invece proprio zero. Per dimostrarlo ci basta far vedere, con un controesempio, che è falso che non esistono in questo anello degli zero-divisori. E ci basta prendere, ad esempio, $[2]\cdot [3]=[6]=[0]$. Abbiamo quindi visto che in $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ esistono degli elementi non nulli che moltiplicati tra loro danno invece l'elemento nullo.

Diamo ora alcune importanti definizioni:

1. Un anello che non ha elementi zero divisori si dice dominio di integrità
2. Un anello i quali elementi diversi da zero formano due gruppi (additivo e moltiplicativo) si chiama corpo
3. Un corpo commutativo si chiama campo

Avevamo prima detto che viene naturale pensare che quando abbiamo zero come risultato di un prodotto, allora uno dei due fattori o tutti e due sono nulli. Questo perché siamo abituati a ragionare con i numeri reali, che sono un campo. Ebbene, dimostriamo che ogni campo è un dominio di integrità, ovvero che ogni campo non ha zero-divisori. Infatti sia $𝔸$ un campo. Allora per ogni $a,b,\in 𝔸$ si possono presentare due casi per il quale $a\cdot b=0$

• se $a=0$ non c'e' nulla da dimostrare. il prodotto tra a e b è ovviamente zero.
• se invece a non è nullo, essendo appartenenti ad un campo, esistera' certamente $a^{-1}$ quindi

$ab=0,a\ne 0\Rightarrow b=1b=(a{a}^{-1})b=a^{-1}(ab)=a^{-1}(0)=0$

Quindi, in un campo, il prodotto nullo implica necessariamente che uno dei due fattori (o entrambi) sia nullo e quindi è un dominio di integrità.