Integrale

Definizioni

Un integrale può essere considerato come l'operazione inversa della Derivata. Esistono tre differenti definizioni di integrale:

1. Integrale di Kurzweil-Henstock
2. Integrale di Lebesgue
3. Integrale di Riemann

La definizione data da Kurzweil e Henstock è la più generale delle tre,e in effetti la seconda e la terza individuano sottospazi vettoriali della prima.

Integrale di Kurzweil-Henstock

Una funzione $f:I\subset ℝ\to ℝ$ si dice integrabile secondo Kurzweil-Henstock (abbreviato K.H.-integrabile) se e solo se è convergente la somma di Riemann associata a ogni P-Partizione $\delta$-fine di $I$. In altre parole se e solo se

$\mathrm{\exists }A\in ℝ:\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta$ calibro su I tale che: $\mathrm{\forall }\mathrm{\Pi }$ P-partizione $\delta$-fine diI,

$|S(I,f,\mathrm{\Pi })-A|\le ϵ$

Alcuni esempi

La funzione costante $f:I\subset ℝ\to ℝ$

$f(x)=k,k\in ℝ$

È KH-integrabile. Vediamo perché:

Analogamente si dimostra (introducendo però un calibro non costante), che anche la funzione

$f(x)=mx,m\in ℝ$

.

Per estensione si può vedere che le funzioni KH-integrabili sono L-Integrabili, e quindi R-integrabili. Pertanto tutte le funzioni continue sono KH-Integrabili.

Anche per le funzioni KH-integrabili vale il Teorema fondamentale del calcolo integrale, così enunciato:

Altre risorse

Vedere la voce Integrali per gli esercizi.