Filtri passa alto

Titolo. Filtri passa alto passivi

Il filtro passa alto ideale

Un filtro passa alto ideale è un circuito che ha il compito di consentire il passaggio di tensioni elettriche la cui frequenza può essere compresa tra $f1$ e valori superiori; sotto la frequenza $f1$ tutte le tensioni vengono bloccate e all'uscita del filtro non si ha alcun segnale, l’andamento grafico di questo comportamento è riportato in figura 1:

figura 1

In figura sono evidenziate le due zone caratteristiche del filtro, la zona passante, entro la quale i segnali d’ingresso possono transitare purché abbiano frequenze superiori ad $f1,$ e la zona non passante, nella quale nessun segnale avente frequenza inferiore ad $f1$ può transitare.

Il filtro passa alto reale

Un filtro passa alto reale ha però un comportamento molto diverso nell'intervallo di frequenze che precede e che segue il valore di $f1;$ il percorso tra zona passante e zona non passante non avviene bruscamente, come in figura 1, ma gradualmente, secondo una curva caratteristica la cui pendenza è tanto più elevata quanto maggiore è la complessità del circuito passa alto, si ha perciò una curva di risposta reale del tipo di quella indicata in figura 2:

figura 2

In figura 2 si vede come la risposta del filtro passa alto consenta di attenuare le frequenze inferiori ad $f1$ secondo una certa curva caratterizzata dal punto di ascissa $f1$ ed ordinata – $3dB$ e dalla pendenza della curva stessa espressa in $dB/ottava;$ il valore di $f1$ è detto frequenza di taglio.

Lo schema elettrico di un filtro passa alto, nella configurazione circuitale più semplice, detta “cellula”, è mostrato in figura 3:

figura 3

Nella figura si vedono i componenti che costituiscono la struttura filtrante, due resistenze $R1eR2,$ uguali tra loro, due induttanze $L1eL2$ , anch'esse uguali tra loro ed una capacità $C1.$

La tensione del segnale d’ingresso, $Vi$, è applicata in serie alla resistenza $R1;$ il segnale d’uscita $Vu$ è presente ai capi di $R2.$

Questa configurazione della cellula necessita di un segnale d’ingresso il cui generatore abbia un’impedenza molto più bassa del valore di $R1.$

Si dice in questo caso che il generatore deve essere un “generatore di tensione”, ciò comporta una perdita di $6dB$ , perdita d’inserzione, per la partizione della tensione $Vi$ da parte di $R1eR2.$

Un circuito filtrante con le stesse caratteristiche di risposta di quello mostrato in figura è realizzabile per il filtraggio di segnali prodotti da “generatori di corrente” , generatori che hanno un’impedenza molto più elevata di R1, lo schema di questo filtro è mostrato in figura 4:

figura 4

In questo circuito la tensione d’ingresso è applicata in parallelo ad $R1$ ed il segnale d’uscita $Vu,$ come nel circuito precedente, è presente ai capi di $R2;$ in questo caso la tensione $Vi$ non subisce nessuna perdita d’inserzione.

Il progetto di entrambi i filtri passa alto sopra illustrati è fattibile, con semplici formule di calcolo, mediante il dimensionamento dei componenti in dipendenza del valore voluto della frequenza di taglio $f1;$ e dal valore delle resistenze $R1,R2$ imposto; le formule in oggetto sono le seguenti:

$C=1/(4\pi \cdot f1\cdot R)$

$L=R/(2\pi \cdot f1)$

dove

$C$ è espresso in Farad

$L$ è espresso in Henry

Caratteristiche generali

Per le soluzioni circuitali alle quali si applicano le formule indicate si hanno le seguenti caratteristiche:

• Filtro passa alto con segnale $Vi$ da generatore di tensione

Perdita d’inserzione nella zona passante $Att.=-6dB$

Attenuazione alla frequenza di taglio rispetto al livello della zona passante $Att.=-3dB$

Attenuazione totale alla frequenza di taglio $Att.=-3dB-6dB=-9dB$

Pendenza della curva d’attenuazione ben sotto il valore di $f1;Att.=-18dB/ottava$ (pari alla riduzione dell’ampiezza del segnale di 8 volte ad ogni dimezzamento della frequenza)

• Filtro passa alto con segnale $Vi$ da generatore di corrente

Perdita d’inserzione nella zona passante $Att.=0dB$

Attenuazione alla frequenza di taglio rispetto al livello della zona passante $Att.=-3dB$

Attenuazione totale alla frequenza di taglio $Att.=-3dB-0dB=-3dB$

Pendenza della curva d’attenuazione ben sotto il valore di $f1;Att.=-18dB/ottava$ (pari alla riduzione dell’ampiezza del segnale di 8 volte ad ogni dimezzamento della frequenza)

Esercizio di calcolo per filtro con generatore di tensione

Dati di progetto:

Sia da realizzare un filtro passa alto in grado di essere accoppiato ad un generatore di tensione avente una $Zu=20\mathrm{\Omega }$ , si voglia una frequenza di taglio $f1=10000Hz$ ed una pendenza di $-18dB/ottava.$

Dimensionamento della resistenza d’ingresso:

Il dati di progetto prevedono una configurazione circuitale come quella di figura 3 per cui:

Il valore di $R1$ deve essere commisurato al valore di $Zu=20\mathrm{\Omega }$ quindi dovrà essere:

$R1>>Zu$

ovvero

$R1>>20\mathrm{\Omega }$

per ottenere questa condizione è opportuno, se possibile, che $R1$ sia almeno $100$ volte il valore di $Zu$ quindi $R1=2000\mathrm{\Omega }.$

Dato che $R1=R2$ si ha $R2=2000\mathrm{\Omega }$

Calcolo di $LeC:$

Dati $f1=10000HzeR=2000\mathrm{\Omega }$

il calcolo di $L$ si effettua con la formula:

$L=R/(2\pi \cdot f1)=2000\mathrm{\Omega }/(2\cdot 3.14\cdot 10000Hz)=31.8mH$ ( Generalmente il valore voluto dell'induttanza si ottiene a mezzo regolazione della mina di taratura dei nuclei in ferroxcube utilizzati)

Quindi $L1=L2=31.8mH$

il calcolo di C1 si effettua con la formula:

$C1=1/(4\pi \cdot f1\cdot R)=1/(4\cdot 6.28\cdot 10000Hz\cdot 2000\mathrm{\Omega })=1990pF$ (con precisione dell’1.25 %)

Entrambi i componenti calcolati sono di valore accettabile, quindi il valore di $R=2000\mathrm{\Omega }$ è adatto al progetto.

Tracciamento della curva di risposta

Poter disporre dell’andamento grafico della curva di risposta del filtro è utile per il controllo della normale funzionalità del circuito una volta costruito.

Utilizziamo un curva di risposta universale adatta alla cellula di figura 4; questa curva è tracciata nella figura 5:

figura 5

La curva di risposta universale ha, in ascisse logaritmiche, il rapporto $f/f1,$ ed in ordinate l’attenuazione del filtro ad intervalli di $2dB$ per divisione.

Per utilizzare la curva di figura 5 dobbiamo determinare il rapporto $f/f1$ per ciascuna frequenza per la quale desideriamo stabilire l’attenuazione prodotta dal filtro; se vogliamo ad esempio conoscere l’attenuazione del nostro filtro alla frequenza $f=4000Hz$ dobbiamo:

• calcolare il rapporto:

$f/f1=4000Hz/10000Hz=0.4$

• tracciare una perpendicolare dall'ascissa d’ampiezza $0.4$ e trovare il punto d’incontro con la curva

• tracciare una perpendicolare dal punto d’incontro all'asse delle ordinate sul quale si leggerà il valore d’attenuazione di circa $30dB.$

Osservazioni generali

Il progetto della cellula passa alto si conclude con alcune osservazioni che ne chiariscono meglio il funzionamento:

Del filtro di cui abbiamo trattato s'è detto che nella zona d’attenuazione la pendenza è di –$18dB/ottava$, questa caratteristica è controllabile soltanto per valori di frequenza lontani dalla frequenza di taglio $f1.$

Un’idea quantitativa di questo comportamento si ha immediatamente dall'esame della curva di risposta di figura 5; se consideriamo l’attenuazione al punto d’ascissa $1$ con il punto d’ascissa $0.5$, corrispondenti a due frequenze l’una la metà dell’altra, si vede che nel primo punto l’attenuazione è di – $9dB$ e nel secondo punto di – $24dB$ con un salto di $15dB$ contro i $18$ che sono la caratteristica teorica della cellula.

Se ora esaminiamo altri due punti della curva più lontani da $f1,$ il punto di ascissa $0.2$ e il punto di ascissa $0.1,$ corrispondenti anch'essi a due frequenze l’una la metà dell’altra, riscontriamo per il primo un'attenuazione di – $48dB$ e per il secondo un’attenuazione di - $66dB$ con un salto di $18dB$ che coincide al valore teorico della pendenza di –$18dB/ottava$ dichiarata per questo tipo di cellula.

Esercizio di calcolo per filtro con generatore di corrente

Dati di progetto secondo lo schema di figura 4:

Sia da realizzare un filtro passa alto in grado di essere accoppiato ad un generatore di corrente avente una $Zu=150000\mathrm{\Omega }$, si voglia una frequenza di taglio $f1=2000Hz$ ed una pendenza di – $18dB/ottava.$

Dimensionamento della resistenza d’ingresso

Il dati di progetto prevedono la configurazione circuitale citata per cui:

Il valore di $R1$ deve essere commisurato al valore di $Zu=150000\mathrm{\Omega }$ quindi dovrà essere:

$R1<<Zu$

ovvero

$R1<<150000\mathrm{\Omega }$

per ottenere questa condizione è opportuno, se possibile, , che $R1$ sia almeno $1/100$ il valore di $Zu$ quindi:

$R1=R2=1500\mathrm{\Omega }.$

Calcolo di L e C:

Dati $f1=2000Hz$ e $R=1500\mathrm{\Omega }$ il calcolo di $L1eL2$ si effettua con la formula:

$L1=L2=R/(2\pi \cdot f1)=1500\mathrm{\Omega }/(2\cdot 3.14\cdot 2000Hz)=119.4mH$

il calcolo di $C1$ si effettua con la formula:

$C1=1/(4\pi \cdot f1\cdot R)=1/(4\cdot 3.14\cdot 2000Hz\cdot 1500\mathrm{\Omega })=26539pF$ (precisione 1.25 %)

Tracciamento della curva di risposta

La curva di risposta di questo filtro ha l'identico profilo di quella tracciata in figura 5 ma non presenta l'attenuazione d’inserzione di – $6dB$ essendo pilotato di corrente invece che di tensione; la risposta del nuovo passa alto è riportata in figura 6.

figura 6

La curva di risposta universale ha, in ascisse logaritmiche, il rapporto $f/f1,$ ed in ordinate l’attenuazione del filtro ad intervalli di $2dB$ per divisione.

Il filtro presenta attenuazione $0dB$ nella zona passante e –$3dB$ in corrispondenza alla frequenza di taglio $f1=2000Hz,$ così come si evince dal punto d’ascissa $1,$ calcolato dal rapporto tra $f=2000Hzef1=2000Hz:$

$f/f1=2000Hz/2000Hz=1$

La pendenza è controllabile tra $f/f1=0.2ef/f1=0.1$; in questo intervallo, sensibilmente inferiore alla frequenza di taglio, è di – $18dB/ottava.$

Si ricorda, come già detto in precedenza, che in questo tipo di filtro, pur non essendo presente l’attenuazione d’inserzione, non si ha un miglioramento nel rapporto tra ampiezza delle tensioni nella zona passante e le tensioni nella zona d’attenuazione.