Probabilità discreta

Definizioni preliminari

Siano $A,B\subset S$, definiamo

Unione di eventi

$A\cup B$ : evento di S che contiene tutti gli esiti di A e/o di B.

Intersezione di eventi

$A\cap B$ : evento di S che contiene tutti gli esiti presenti sia in A che in B.

Insieme vuoto

$\mathrm{\varnothing }$ : evento che non contiene esiti.

Eventi mutuamente esclusivi (o disgiunti)

Se $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$

Eventi complementari

Sia $A\subset S,A^C=\bar{A}=S-A$

Nota bene: $S^C=\mathrm{\varnothing }$

Proprietà

Siano $A,B\subset S$

• $A^C\cap B^C=(A\cup B{)}^C$
• $A^C\cup B^C=(A\cap B{)}^C$

Unione di eventi

Siano $A_1,A_2,...,A_m\subset S$

$\bigcup _{k=1}^m{A}_k=A_1\cup A_2\cup ...\cup A_m$

Definizione assiomatica di probabilità

Assiomi di Kolmogorov

Dato un esperimento che preveda più esiti possibili e a cui è associato uno spazio campione $S$, e dato un evento $E\subset S$, si definisce probabilità di $E$:

$$P(E)\in ℝ$$

Assioma 1

$0\le P(E)\le 1$

Assioma 2

$P(S)=1$

Assioma 3

Dati $E_1,E_2,...,E_m\in S$ mutuamente esclusivi (o disgiunti), la probabilità dell'unione degli eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

In formule:

$P\left(\bigcup _{k=1}^m{E}_k\right)=\sum _{k=1}^m{E}_k$

Probabilità condizionata

Problema della rovina del giocatore

Descrizione del problema

A e B giocano lanciando una moneta. Se esce testa (T), B da una moneta ad A. Viceversa se esce croce (C).

Il gioco continua fino a quanto uno dei due giocatori rimane senza monete.

Sia $k,0<k<n$ il numero di monete posseduto inizialmente da A e $(n-k)$ il numero di monete possedute da B.

Qual è la probabilità che vinca A, cioè che B resti senza monete?

Senza fare un'analisi approfondita, è abbastanza intuitivo pensare che chi inizialmente ha più monete abbia più probabilità di vincere. Dipenderà inoltre dal numero di tutte le monete presenti in gioco.

Analisi del problema

Sia l'evento A = 'A vince', $P_k=P(A)$, al turno $k$-esimo.

Per sussistere il problema, è necessario che venga effettuato almeno un lancio $(1\le k\le n)$.

Siano inoltre:

• $P(T)=p$
• $P(C)=1-p=q$

T e C sono una partizione dello spazio campione, quindi è possibile applicare il teorema della probabilità totale.

$$\begin{array}{cc}P(A)& =P(A|T)P(T)+P(A|C)P(C)\\ P_k& =P_{k+1}p+P_{k-1}q\end{array}$$

$P(A|T)\to P_{k+1}$ poiché se è uscito testa A riceve una moneta, ha quindi $k+1$ monete

Stesso ragionamento si applica con $P(A|C)$.

Osservazione: $P_0=0,P_n=1$

Dall'equazione di prima riprendiamo che

$$\begin{array}{cc}1\cdot P_k& =P_{k+1}\cdot p+P_{k-1}\cdot q\\ (p+q)\cdot P_k& =P_{k+1}\cdot p+P_{k-1}\cdot q\\ q(P_k-P_{k-1})& =p(P_{k+1}-P_k)\\ P_{k+1}-P_k& =(P_k+P_{k-1})\frac{q}{p}\end{array}$$

con $p\ne 0$, altrimenti A non può mai vincere.