Visualizza wikitesto di Funzioni derivabili e derivata di una funzione

{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Algebra lineare}}
{{Navigazione lezione|materia1=Analisi matematica|corso1=Matematica}}
==Rapporto incrementale e definizione di derivata==
Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.
{{Riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Siano <math>A</math> un sottoinsieme non vuoto di <math>\mathbb{R}</math> e <math>D(A)</math> il suo insieme derivato. Consideriamo una funzione <math>f:A\to\mathbb{R},A\subseteq \mathbb{R}</math> e un punto <math>x_0 \in A\cap D(A)</math>. Definiamo il '''rapporto incrementale''' di <math>f</math> nel punto <math>x_0</math> la funzione
:<math>\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>.

Si dice poi che <math>f</math> '''è derivabile''' in <math>x_0</math> se '''esiste ed è reale'''
:<math>\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} </math>.

Tale limite si chiama '''derivata di <math>f</math> nel punto <math>x_0</math>''' e si denota equivalentemente con
:<math>f'(x_0)</math>, <math>\mathcal{D}f(x_0)</math>, <math>\frac{df(x)}{dx}_{x=x_0}</math>

Se il limite esiste ma non è reale (è dunque <math>+\infty</math> o <math>-\infty</math>, <math>f</math> si dice '''derivabile in senso esteso in <math>x_0</math>''', o ancora non derivabile in <math>x_0</math>.
}}

In termini geometrici, il rapporto incrementale di una funzione è il coefficiente angolare della retta secante la funzione e passante per i punti di ascissa <math>x_0</math> e <math>x</math>. Vediamone un esempio grafico intuitivo.
[[Immagine:Derivata come coefficente angolare.png | center]]

Dalla geometria analitica sappiamo inoltre che il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell'angolo che si viene a formare tra essa e una qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse.

Essendo <math>f(x)-f(x_0) = \sin \beta</math> e <math>x-x_0 = \cos \beta</math>, la tangente <math>\frac{\sin \beta}{\cos \beta}</math>, cioè il coefficiente angolare della nostra retta è <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> che è proprio il rapporto incrementale!

====Osservazione====
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>f:A\to \mathbb{R}</math> e sia <math>x_0 \in A \cap D(A)</math>.

:<math>f</math> derivabile in <math>x_0 \Longrightarrow</math> <math>f</math> continua.
}}
=====Dimostrazione=====
Supponiamo che <math>f</math> sia continua. Allora <math>f(x)-f(x_0)</math> tende a 0 per <math>x</math> che tende a <math>x_0</math>. Allora
:<math>f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)</math>
il rapporto incrementale tende a <math>f'(x_0)</math> e <math>x-x_0</math> tende a <math>0</math> per <math>x\to x_0</math>. Dunque:
:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0) = 0</math> anch'esso, come volevamo dimostrare.
<div style="text-align:right">
<math>\Box</math>
</div>
È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo un controesempio;
<math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\mid x \mid</math>.
La funzione valore assoluto è certamente continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in <math>x_0</math>, tuttavia <math>f</math> non è derivabile nel punto <math>x_0=0</math>.

[[Immagine:Absolute_value.png|center]]

Infatti

<math>\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}=\begin{cases}1& \mbox{per} \ x\to 0^+ \\ \\ -1 &\mbox{per} \ x\to 0^- \end{cases}</math>.

I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile.

==Esempi di funzioni derivabili==
Vediamo ora alcuni esempi di funzioni notevoli derivabili e ne calcoliamo poi la derivata. Prima un appunto di notazione.
{{riquadro|widht=80%|border=1px solid grey|contenuto=
<math>\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>  e scriviamo ora <math>x-x_0=h</math> . Allora
<math>x=x_0+h</math> e <math>x_0+h \to x_0</math> per <math>h \to 0</math>. Abbiamo ora che
<div align="center">
<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
</div>
Useremo convenientemente i due modi di rappresentare il rapporto incrementale a seconda dei casi.
}}

====1 - derivata di una potenza ====
<math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^n, n\in \mathbb{N}</math>. Dimostriamo che <math>f'(x)=nx^{n-1}</math>.
Infatti, tenendo a mente che <math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}</math>) abbiamo:

<math>\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \Rightarrow \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=</math>
<math>\lim_{h \to 0} \frac{\left( (x+h)-x\right)\left( (x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)}{h}</math>

<math>\lim_{h \to 0} \frac{h\left( (x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)}{h}=</math>
<math>\lim_{h \to 0}\left( (x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)=</math>
<math>=\sum_{i=1}^n x^{n-1} = nx^{n-1}</math>

====2 - derivata di <math>e^x</math> ====

Dimostriamo che la derivata di <math>f(x)=e^x</math> è uguale a <math>f'(x)=e^x</math>. Fissiamo <math>x\in\mathbb{R}</math> e sfruttiamo la definizione di derivata intesa come limite del rapporto incrementale centrato in <math>x</math>:

<math>f'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \Rightarrow \lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\lim_{h\to 0}e^{x}\frac{e^h-1}{h}</math>.

Quando <math>h\to 0</math> si ha che:

* <math>e^{x}</math> tende a <math>e^{x}</math> perché tale fattore non dipende dalla variabile <math>h</math>;
* <math>\frac{e^h-1}{h}</math> tende a 1 per via del limite notevole associato all'esponenziale;

pertanto il limite precedente è uguale a <math>e^{x}</math>. Concludiamo quindi che la derivata della funzione esponenziale <math>f(x)=e^{x}</math> coincide con se stessa, ossia:

<math>f'(x)=e^{x}</math>

che è quello che volevamo dimostrare.

====3 - derivata di <math>\log x</math>====
<math>\lim_{x \to x_0} \frac{\log x - \log x_0}{x-x_0}</math>. Scriviamo <math>\log x = y \Leftrightarrow e^y=x</math> e <math>\log x_0 = y_0 \Leftrightarrow e^{y_0}=x_0</math>.

<math>\frac{y-y_0}{e^y-e^{y_0}}=\dfrac{1}{\frac{e^y-e^{y_0}}{y-y_0}}</math>. Abbiamo che <math>x\to x_0 \Rightarrow \log x \to \log x_0 \Rightarrow y\to y_0</math> e dunque il denominatore tende a <math>De^{y_0}=e^y_0=x_0</math>. Dunque <math>D\log x = \frac{1}{x}</math>.

===4-Derivata delle funzioni circolari===
Dimostriamo che <math>D\sin x = \cos x,\forall x \in \mathbb{R}</math> e <math>D\cos x = -\sin x, \forall x \in \mathbb{R}</math>.

Premettiamo però un limite che non dimostreremo adesso ma che si rivela molto utile: <math>\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1</math>.

Ora: <math>\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{(1-\cos h)(1+\cos h)}{h^2(1+\cos h)}=</math>
<math>\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos^2 h}{h^2(1+\cos h)}= \lim_{h \to 0}\left(\frac{\sin h}{h}\right)^2 \frac{1}{1+\cos h}=\frac{1}{2}</math>

Adesso procediamo con la dimostrazione della derivata di <math>\sin x</math>.

<math>\lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \sin h \cos x - \sin x}{h}=</math>
<math>\lim_{h \to 0}\left( \sin x \frac{\cos h -1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h} \right)</math>.

<math>\sin x \frac{\cos h -1}{h}</math> tende a 0 mentre <math>\cos x\frac{\sin h}{h}</math> tende a <math>\cos x \cdot 1=\cos x</math>. Dunque ecco dimostrata la derivata notevole del seno.

Analoghe dimostrazioni provano la derivata delle altre funzioni circolari e sono lasciate per esercizio.

Vediamo ora un'ultima osservazione estremamente importante.
====Osservazione====
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>f:A\to \mathbb{R}</math> e sia <math>x_0 \in A \cap D(A)</math> e supponiamo <math>f</math> derivabile in <math>x_0</math>.

Allora <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0):= \omega (x), \lim_{x \to x_0} \omega (x) = 0</math>. Dunque <math>\omega (x)</math> è un infinitesimo.

Quindi <math>f(x)-f(x_0)=\Big(f'(x_0)+\omega (x)\Big)(x-x_0) \Leftrightarrow f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\omega (x)(x-x_0)</math>

In altri termini, la funzione <math>f</math> differisce da un polinomio lineare del tipo <math>a_0+a_1(x-x_0)</math> solo di un infinitesimo. Da questo possiamo anche dedurre che <math>f</math> è derivabile in <math>x_0</math> se <math>a_0=f(x_0)</math> e <math>a_1=f'(x_0)</math>.
}}

=====Esempi=====
Consideriamo ad esempio la funzione <math>f(x)=\sin(x)</math> e <math>x_0=0</math>. Per applicare la relazione

<math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)(x-x_0)</math>

abbiamo la necessità di valutare la derivata prima di <math>f(x)=\sin(x)</math> nel punto <math>x_0=0</math>. Nel paragrafo relativo alle derivate delle funzioni circolari abbiamo dimostrato che <math>f'(x)=\cos(x)</math> di conseguenza <math>f'(0)=\cos(0)=1</math>. Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per utilizzare la relazione

<math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)(x-x_0)</math>

che diventa

<math>\sin(x)=\sin(0)+\cos(0)(x-0)+\omega(x)(x-0)</math>

vale a dire

<math>\sin(x)=x+\omega(x)\cdot x</math>

Scriviamo la formula in favore di <math>\omega(x)</math>:

<math>\omega(x)=\frac{\sin(x)-x}{x} \ \ \ \mbox{per }x\ne 0</math>

e infine ne calcoliamo il limite per <math>x</math> che tende a <math>x_0</math>

<math>\lim_{x\to 0}\omega(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-x}{x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}-\frac{x}{x}\right)=</math>

<math>=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}-1\right)=0</math>

Il limite è zero perché <math>\frac{\sin(x)}{x}\to 1</math> per <math>x\to 0</math>, in virtù del limite notevole del seno.