Applicazioni lineari

Definizione

Siano $V$ e $W$ $𝕂$ -spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.

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È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se

f (λ v + λ^{'} v^{'}) = λ f (v) + λ^{'} f (v^{'})

Esempio

$f : ℝ^{2} \to ℝ^{4}, (x, y) \to (2 y, 0, x + y, x - y)$ verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.

Prendiamo allora un altro elemento di $ℝ^{2}$ $(x^{'}, y^{'}) \to (2 y^{'}, 0, x^{'} + y^{'}, x^{'} - y^{'})$ . Verifichiamone le proprietà:

$f ((x, y) + (x^{'}, y^{'})) = f ((x + x^{'}, y + y^{'})) = (2 (y + y^{'}), 0, (x + x^{'}) + (y + y^{'}), (x + x^{'}) - (y + y^{'})) =$

(2 y, 0, x + y, x - y) + (2 y^{'}, 0, x^{'} + y^{'}, x^{'} - y^{'}) = f ((x, y)) + f ((x^{'}, y^{'}))

$f (κ (x, y)) = f ((κ x, κ y)) = (κ 2 y, κ 0, κ (x + y), κ (x - y)) = κ (2 y, 0, x + y, x - y) = κ f ((x, y))$

Dalla definizione, se $λ = 0$ o $λ = - 1$ , abbiamo che

f (0 v) = 0 f (v) = 0

f (v - v^{'}) = f (0) = 0

e da qui sappiamo sempre che $f (0) = 0$ .

Isomorfismo tra $V$ e $𝕂^{n}$

Sia $ℬ = (v_{1}, \dots, v_{n})$ una base di $V$ . La funzione

f_{B} : V \to 𝕂^{n}, v \mapsto (k_{1}, \dots, k_{n})

associa ad ogni vettore di $V$ le sue coordinate rispetto alla base $ℬ$ .

Dimostrate per esercizio che $f_{B}$ è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore $v$ si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei $(v_{1}, \dots, v_{n})$ e viceversa ogni combinazione di $(v_{1}, \dots, v_{n})$ definisce un vettore di $V$ . Dunque $f_{B}$ è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: $V$ e $𝕂^{n}$ sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in $V$ con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.