Calcolo vettoriale

Template:Risorsa Dovendo trattare sia di quantità scalari che di quantità vettoriali, utilizzeremo lettere corsive (minuscole o maiuscole) per le grandezze scalari (siano esse costanti o funzione di una o più variabili), lettere in grassetto minuscolo per le grandezze vettoriali e lettere in grassetto maiuscole per le matrici.

Ad esempio, mentre le lettere A ed a rappresentano delle grandezze scalari, la lettera a rappresenta un vettore, ed in particolar modo un vettore colonna.

Riferendoci ai vettori nel corso delle lezioni utilizzeremo un altro tipo di rappresentazione: la notazione indiciale. Il vettore colonna a composto da n componenti potrà essere rappresentato indifferentemente sia con il simbolo a sia con la notazione $a_i$, dove i è un numero naturale al variare del quale varia la componente del vettore a. Ad esempio, dato il vettore a di tre componenti, esso può essere rappresentato sia mediante il vettore colonna a $\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]$ sia mediante la notazione indiciale $a_i$ con i=1,2,3.

La prima operazione che introduciamo sui vettori è l'operazione di trasposizione, indicata con l'apice ${}^t$. Trasporre un vettore colonna ci porta a scrivere un vettore riga avente le stesse componenti (nello stesso ordine!) del vettore colonna. Ad esempio, il vettore colonna a visto in precedenza può essere trasposto e a${}^t$ ha la rappresentazione vettoriale $\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]$

Se adesso volessimo rappresentare il vettore a${}^t$ in notazione indiciale, quale indice potremmo utilizzare? La particolarità (e spesso il disagio) di utilizzare la notazione indiciale consiste nel fatto che il vettore $a_i$ può rappresentare indifferentemente un vettore riga o un vettore colonna. Di volta in volta chiariremo, quando tratteremo formule scritte in notazione indiciale, se stiamo parlando di vettori riga o vettori colonna.

Le operazioni di calcolo vettoriale analitico che ci interessano sono:

• Modulo di un vettore
• Prodotto scalare di due vettori
• Prodotto vettoriale di due vettori

Il modulo di un vettore ha il significato fisico si lunghezza del segmento e si calcola applicando il Teorema di Pitagora in 2 oppure 3 dimensioni, a seconda del tipo di vettore. Per un generico vettore in n dimensioni la formula è: $\Vert 𝐚\Vert =\sqrt{{𝐚}^t𝐚}=\sqrt{\sum _{k=1}^n{a}_i^2}$

Il prodotto scalare tra due vettori è un numero reale definito come $x={𝐚}^t𝐛={𝐛}^t𝐚=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\mathrm{...}+a_n{b}_n=\sum _{k=1}^n{a}_i{b}_i$

Infine il prodotto vettoriale tra due vettori è il vettore risultante dal calcolo del determinante della matrice $\left|\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$ dove $e_1{e}_2{e}_3$ rappresentano i tre versori di un sistema di riferimento destrorso rispetto al quale sono state determinate le componenti $a_1{a}_2{a}_3$ del vettore a e le componenti $b_1{b}_2{b}_3$ del vettore b.