Cinematica (meccanica razionale)

Lezione 1:
Cinematica

Cinematica del punto

Moto di un punto P nello spazio

Il moto di P è noto rispetto alla terna Oxyz tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:

$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$

In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica

$\overline{𝐎𝐏}=\overline{𝐎𝐏}(t)$

Consideriamo il caso in cui il punto P si muova su di una traiettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le

$\{\begin{array}{c}x=x(s)\\ y=y(s)\\ z=z(s)\end{array}$

e la legge oraria

$S=S(t)$

Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di P lungo la l, cioè in qual maniera nel tempo P percorre gli spazi sulla l.

Velocità scalare

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:

$\frac{ds}{dt}=\dot{s}(t)$

Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traiettoria definita dalle (1) quando:

$\dot{s}(t)=cost$

Velocità vettoriale

Supponendo che la traiettoria di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curvs nel punto P mediante le seguenti formule:

$\{\begin{array}{c}{T}_x=\frac{\frac{dx}{ds}}{\sqrt{(\frac{dx}{ds}{)}^2+(\frac{dy}{ds}{)}^2+(\frac{dz}{ds}{)}^2}}=\frac{dx}{ds}\\ T_y=\frac{dy}{ds}\\ T_z=\frac{dz}{ds}\end{array}$

Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:

$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{i}{T}_x+\overrightarrow{j}{T}_y+\overrightarrow{z}{T}_z$

Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità

$\overrightarrow{v}=\dot{s}(t)\cdot \overrightarrow{T}$

che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

Accelerazione

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:

$\overline{𝐚}=\frac{d}{dt}\overline{𝐯(t)}=\frac{d}{dt}(\dot{s}\overline{𝐓})$

Eseguendo la derivazione abbiamo:

$\overline{𝐚}=\ddot{s}\overline{𝐓}+\dot{s}\frac{d}{dt}\overline{𝐓}$

e ricordando che:

$\overline{𝐓}=\frac{d}{ds}x(s)i+\frac{d}{ds}y(s)j+\frac{d}{ds}z(s)k$

e derivando rispetto a t:

$\frac{d}{dt}\overline{𝐓}=i\frac{d^2}{d{s}^2}x(s)\frac{d}{dt}s(t)+j\frac{d^2}{d{s}^2}y(s)\frac{d}{dt}s(t)+k\frac{d^2}{d{s}^2}z(s)\frac{d}{dt}s(t)$

$\frac{d}{dt}\overline{𝐓}=\dot{s}(i\frac{d^2}{d{s}^2}x(s)+j\frac{d^2}{d{s}^2}y(s)+k\frac{d^2}{d{s}^2}z(s))$

Il vettore

$i\frac{d^2}{d{s}^2}x(s)+j\frac{d^2}{d{s}^2}y(s)+k\frac{d^2}{d{s}^2}z(s)$

è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:

$\frac{1}{\rho }=\sqrt{(\frac{d^2}{d{s}^2}x(s){)}^2+(\frac{d^2}{d{s}^2}y(s){)}^2+(\frac{d^2}{d{s}^2}z(s){)}^2}$

che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:

$\dot{a}=\ddot{s}\overline{𝐓}+\frac{{\ddot{s}}^2}{\rho }\overline{𝐍}$

Cinematica dei moti rigidi

Si dice, che il moto di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazione

Chiameremo con $S_1$ e $S_2$ due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della $S_1$, non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della $S_2$.

Se $A_1$ e $A_2$ sono due punti corrispondenti, il vettore $\overline{{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}}$ dicesi lo spostamento del punto $A_1$. Se:

$\overline{{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}}=\overline{{𝐁}_{\mathrm{𝟏}}{𝐁}_{\mathrm{𝟐}}}=.....=\overline{{𝐍}_{\mathrm{𝟏}}{𝐍}_{\mathrm{𝟐}}}=\overline{𝐚}$

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione $S_2$ è dedotta da $S_1$ mediante una traslazione semplice di vettore $\overrightarrow{a}$. Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra $S_1$ $S_2$ , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di $S_1$, ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra $S_1$ e $S_2$, poiché

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di $S_1$ descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Moto di rotazione

Supponiamo ora che le due figure componenti $S_1$ e $S_2$ abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ora un punto $P_1$ di $S_1$ non appartenente all'asse e sia $P_2$ il suo corrispondente in $S_2$. Mandiamo dal punto $P_1$ la normale all'asse O$P_1$, e conduciamo anche la O$P_2$, lo O$P_2$ risulterà essendo $P_2$ corrispondente di $P_1$ normale all'asse ed $O{S}_2=O{S}_1$.

Allora facendo descrivere a $P_1$, l'arco i cerchio $P_1{P}_2$, la figura $S_1$ si sovrapporrà ad $S_2$, in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui a ruotato il piano ${\alpha }_1$ formato da $P_1$ e l'asse, per andare a coincidere con il piano ${\alpha }_2$ formato da $P_2$ e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolare

Preso un piano di riferimento fisso del corpo passante per l'asse e se $\theta$ è l'angolo che un piano mobile passante per l'asse forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

$\dot{\theta }=\frac{d}{dt}\theta (t)=\omega$

nel caso che

$\frac{d^2}{d{t}^2}\theta (t)=\ddot{\theta }=0$

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettoriale

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ che ha per modulo $\omega$, e direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.

FIGURA

Velocità di un puntoP in un moto di rotazione.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP}$

Moto elicoidale

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza $\overrightarrow{a}$ , si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con $\overrightarrow{v_p}$ e $\overrightarrow{v_0}$ le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP}$

Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento $\mathit{\xi }$, $\mathit{\eta },$, $\mathit{\zeta }$, e se $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Per cui la velocità di P, $v_p$, è uguale a $\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}P}$, mentre quelli di =, $v_0$, è data da $\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}O}$. Posto ciò abbiamo che:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{OP}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}P}-\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}O}=\overrightarrow{v_p}-\overrightarrow{v_0}$

Il vettore $\frac{d}{dt}\overrightarrow{i}$ potrà essere epresso in generale come:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{i}=a\frac{d}{dt}\overrightarrow{i}+b\frac{d}{dt}\overrightarrow{j}+c\frac{d}{dt}\overrightarrow{k}$

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}+\dot{x}\overrightarrow{i}+\dot{y}\overrightarrow{j}+\dot{z}\overrightarrow{k}+x\frac{d}{dt}\overrightarrow{i}+y\frac{d}{dt}\overrightarrow{j}+z\frac{d}{dt}\overrightarrow{k}$

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$. La (8) si riduce allora:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}+x\frac{d}{dt}\overrightarrow{i}+y\frac{d}{dt}\overrightarrow{j}+z\frac{d}{dt}\overrightarrow{k}$

Vogliamo ora dimostrare che:

$\{\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\overrightarrow{i}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{i}\\ \frac{d}{dt}\overrightarrow{j}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{j}\\ \frac{d}{dt}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{k}\end{array}$

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale	prodotto scalare
$\overrightarrow{i}\wedge \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{k}=0$	$\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k}=1$
$\overrightarrow{i}\wedge \overrightarrow{j}=-\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{i}=\overrightarrow{k}$	$\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=0$
$\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{k}=-\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}$	$\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=0$

Inoltre possiamo scrivere:

$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i})=\overrightarrow{i}\times \frac{d\overrightarrow{i}}{dt}+\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{i}=2(\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{i})=0$

$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j})=\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{j}+\overrightarrow{i}\times \frac{d\overrightarrow{j}}{dt}=0$

$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k})=\frac{d\overrightarrow{j}}{dt}\times \overrightarrow{k}+\overrightarrow{j}\times \frac{d\overrightarrow{k}}{dt}=0$

cioè

$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{i}=0$
$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{j}=-\overrightarrow{i}\times \frac{d\overrightarrow{j}}{dt}$
$\frac{d\overrightarrow{j}}{dt}\times \overrightarrow{k}=-\overrightarrow{j}\times \frac{d\overrightarrow{k}}{dt}$

Il vettore $\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}$ potrà essere espresso in generale come:

$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ otteniamo:

$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{i}=a\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}+c\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=a=0$

$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{j}=a\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}+b\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}=b$

$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{k}=a\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}+b\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}+c\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k}=c$

Si ottiene

$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}=(\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{j})\cdot \overrightarrow{j}+(\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{k})\cdot \overrightarrow{k}$

$=(\frac{d\overrightarrow{j}}{dt}\times \overrightarrow{k})\cdot \overrightarrow{i}\wedge \overrightarrow{i}+(\frac{d\overrightarrow{k}}{dt}\times \overrightarrow{i})\cdot \overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{i}+(\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times j)\cdot \overrightarrow{k}\wedge i$.

E se definiamo:

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=(\frac{d\overrightarrow{j}}{dt}\times \overrightarrow{k})\cdot \overrightarrow{i}+(\frac{d\overrightarrow{k}}{dt}\times \overrightarrow{i})\cdot \overrightarrow{j}+(\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\times \overrightarrow{j})\cdot \overrightarrow{k}$

otteniamo le (10):

$\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{i}$ ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigido

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

$\overrightarrow{V_p}=\overrightarrow{V_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{V_p}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{V_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \frac{d}{dt}\overrightarrow{(OP)}+\frac{d}{dt}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

Cioè:

$\overrightarrow{a_p}=\overrightarrow{a_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}+\frac{d}{dt}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

In quanto per le (13) si ha:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{(OP)}=\overrightarrow{V_p}-\overrightarrow{V_0}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}=(\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\times \overrightarrow{(OP)})\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}-(\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\times \overrightarrow{\mathrm{\Omega }})\cdot \overrightarrow{(OP)}$

Le espressioni cartesiane delle componenti di $\overrightarrow{a_p}$ rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

$\ddot{x}=\dot{u_0}+(px+qy+rz)\cdot p-(p^2+q^2+r^2)\cdot x+(\dot{q}z-\dot{z}y)$

$\ddot{y}=\dot{v_0}+(px+qy+rz)\cdot q-(p^2+q^2+r^2)\cdot y+(\dot{z}x-\dot{p}z)$

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi

velocità

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili $x_m$ $y_m$ $z_m$ sono date proiettando la formula fondamentale:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}\wedge (\overrightarrow{OP)}$

Cinematica del punto nel moto relativo

Teorema di Coriolis

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

$x=x(t)$

$y=y(t)$

$z=z(t)$

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

1-Parametri del moto della terna mobile.

2-Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

Velocità assoluta

O,x,y,z è il sistema di assi mobili ed il suo moto è individuato dalle componenti della velocità di traslazione $u_o$, $v_o$, $w_o$ del punto O rispetto agli assi stessi, e dal vettore rotazione $\overline{\mathrm{\Omega }}$ diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti rispetto agli assi mobili p, q, r.

Se $O_f$ è l'origine degli assi fissi avremo:

$\overline{{𝐎}_{𝐟}𝐏}=\overline{{𝐎}_{𝐟}𝐎}+\overline{𝐎𝐏}$

La velocità assoluta è data da: