Circuiti risonanti: le formule di trasformazione parallelo - serie

Le formule di trasformazione consentono il passaggio da circuiti parallelo a circuiti serie e viceversa.

Il passaggio avviene mediante la trasformazione dei parametri dei circuiti; queste trasformazioni sono d’importanza fondamentale per il dimensionamento di circuiti d’accordo per carichi reattivi con perdite.

Per la comprensione delle formule di trasformazione è d’aiuto la figura 1:

figura 1

In figura sono mostrati i due circuiti risonanti nelle configurazioni serie.

Il circuito di destra presenta la configurazione, già studiata in precedenza, nella quale tutte le perdite sono rappresentate dalla resistenza $Rs$, il circuito di sinistra mostra invece il caso in cui dette perdite siano rappresentate dalla resistenza parallelo $Rp$; una doppia freccia è tracciata tra i due circuiti all’interno dei cerchi ombrati, oggetto della trasformazione, a significare che è possibile, semplicemente, passare da una configurazione all’altra trasformando i parametri della prima nei parametri della seconda.

I parametri, oggetto della trasformazione, sono di seguito elencati:

$Xcs⟺Xcp$

$Rs⟺Rp$

Per valori del coefficiente di merito $Q$ maggiore di $10$ il legame tra i parametri diventa:

$Xcs=Xcp$

$Rs=Rp/Q2$

Per valori del coefficiente di merito $Q$ inferiori a $10$, sussistono invece le seguenti relazioni:

$Rs=Rp/(Q^2+1)$

$Xcs=Xcp/[(1/Q^2)+1]$

L’utilità e la semplicità d’impiego di queste formule è mostrata nell’esempio numerico che segue:

Si debba collegare ad un amplificatore di potenza un trasduttore elettroacustico piezoelettrico avente la struttura circuitale indicata in figura 2 e le seguenti caratteristiche elettriche:

figura 2

Frequenza di lavoro $f=52000Hz$

$Rp=2000\mathrm{\Omega }$

$Cp=1800pF$

$Xcp=1700\mathrm{\Omega }$

$Q=1.17$

Un conciso commento sui dati deve essere fatto per chiarezza; in un trasduttore piezoelettrico il valore di $Rp$, che in un condensatore normale rappresenta soltanto le perdite, è l’insieme delle perdite e della resistenza mozionale sulla quale riversare la potenza elettrica per l’emissione dell’energia acustica; il collegamento all’amplificatore richiede perciò l’accordo della parte capacitiva $Cp$ affinché l’amplificatore possa riversare la propria potenza su di un carico puramente resistivo.

Per ottemperare all’esigenza sopra indicata è necessario trasformare il circuito parallelo di figura 2 nel circuito serie di figura 3 affinché su di esso possa essere calcolata l’induttanza di accordo:

figura 3

Per la trasformazione sopra indicata dobbiamo applicare le formule relative a circuiti con $Q<10:$

$Rs=Rp/(Q^2+1)=2000\mathrm{\Omega }/(1.172+1)=844\mathrm{\Omega }$

$Xcs=Xcp/[(1/Q^2)+1]=1700\mathrm{\Omega }/[(1/1.172)+1]=982\mathrm{\Omega }$

dal valore di Xcs si calcola la capacità $Cs:$

$Cs=1/(6.28\cdot 52000Hz\cdot 982\mathrm{\Omega })=3118pF$

ed infine il valore dell’induttanza del circuito risonante serie :

$L=982\mathrm{\Omega }/6.28\cdot 52000Hz=3mH$

Con tutti i valori calcolati si risolve il nostro problema relativo al circuito risonante serie riportato in figura 3:

Se, per esercizio, applicassimo al circuito di figura 3 le formule per la trasformazione da serie a parallelo ritroveremo i dati $Cp;Rp$ di partenza.

Il circuito di figura 3 mostra come si rappresenta graficamente il circuito accordato serie con tutti i parametri che abbiamo ottenuto dalla trasformazione parallelo-serie; dato però che l’induttanza Ls accorda di fatto il trasduttore, questa potrà figurare anche in serie alla configurazione originale dello stesso come riportato in figura 4:

figura 4

Concludiamo questo paragrafo accennando al fatto che la trasformazione parallelo serie e viceversa può essere applicata anche nei casi in cui le perdite siano concentrate sull’induttanza in una configurazione parallelo così come si vede in figura 5:

figura 5

per la quale valgono le seguenti espressioni:

$XLs⟺XLp$

$Rs⟺Rp$

Per valori del coefficiente di merito $Q$ maggiore di $10$ il legame tra i parametri diventa:

$XLs=XLp$

$Rs=Rp/Q^2$

Per valori del coefficiente di merito $Q$ inferiori a $10$ , sussistono invece le seguenti relazioni:

$Rs=Rp/(Q^2+1)$

$XLs=XLp\cdot [(Q^2+1)/Q^2]$