Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale

Punto di Accumulazione

Sia $A\subseteq ℝ,A\ne \mathrm{\varnothing },x_0\in ℝ$, $H$ un intorno di $x_0$ e ${ℐ}_{x_0}$ l'insieme degli intorni di $x_0$.
Si dice che $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$ se

$(A\setminus \{x_0\})\cap H\ne 0,\mathrm{\forall }H\in {ℐ}_{x_0}$

quindi

$\mathrm{\forall }H\in {ℐ}_{x_0}\mathrm{\exists }x\in A\mid x\in H,x\ne x_0$

In altri termini, per ogni intorno del punto $x_0$, esiste almeno un altro punto di $A$ che non sia $x_0$.

Si dice derivato di $A$ l'insieme dei punti di accumulazione di $A$ e si indica con $D(A)$.

$\pm \mathrm{\infty }$ punti di accumulazione

Sia $A\subseteq ℝ$. Si dice che $+\mathrm{\infty }$ è un punto di accumulazione di $A$ se:

$A\cap L\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{+\mathrm{\infty }}$

In questa definizione evitiamo di specificare $A\setminus \{+\mathrm{\infty }\}$ perché $+\mathrm{\infty }$ non è un punto di $A$.

Possiamo dedurre questa interessante osservazione: Template:Riquadro

Definizione di Limite

Sia $f:A\to ℝ,A\subseteq ℝ$. Scrivere

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\lambda$

significa che se $x$ è "vicino" a $x_0$ allora anche $f(x)$ è vicina a $\lambda$ .

Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o $\pm \mathrm{\infty }$) per $x$ che tende ad un certo valore (anche qui sia esso un numero reale o $\pm \mathrm{\infty }$). Per comodità di notazione scriveremo

$\overline{ℝ}=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$

Enunciamo ora la definizione di limite: Template:Riquadro

Questa è la definizione generale di limite per una funzione. È davvero molto importante e BISOGNA saperla maneggiare con grande naturalezza. Vediamo ora come si può utilizzare questa definizione e come si trasforma a seconda dei casi.

Caso1: $x_0\in ℝ$ e limite reale

In questo caso, con $x_0$ reale e il limite reale, abbiamo

$\{\begin{array}{c}{ℐ}_{\lambda }=\{]\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon [,\epsilon >0\}\\ {ℐ}_{x_0}=\{]x_0-\delta ,x_0+\delta [,\delta >0\}\end{array}$

Dunque, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\lambda$ lo possiamo rappresentare in base alla definizione di limite come

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:f(x)\in ]\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon [,\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\},x\in ]x_0-\delta ,x_0+\delta [$

Ma possiamo giungere anche ad una notazione un po' più compatta. Infatti notiamo che

$f(x)\in ]\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon [\iff ]\lambda -\epsilon <f(x)<\lambda +\epsilon [\iff -\epsilon <f(x)-\lambda <\epsilon \iff |f(x)-\lambda |<\epsilon$

ed allo stesso modo

$x\in ]x_0-\delta ,x_0+\delta [=x_0-\delta <x<x_0+\delta =-\delta <x-x_0<\delta \iff |x-x_0|<\delta$

Si ottiene infine, con questa nuova notazione,

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|f(x)-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\},|x-x_0|<\delta$

che è la notazione compatta e più operativa che useremo d'ora in avanti.

Caso2: $x_0\in ℝ$ e limite $+\mathrm{\infty }$

I rispettivi intervalli sono

${ℐ}_{x_0}=]x_0-\delta ,x_0+\delta [$ e ${ℐ}_{+\mathrm{\infty }}=]y,+\mathrm{\infty }[,y\in ℝ$

La definizione di limite diventa per questo caso

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)>y,\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\},x\cap I$

e nella versione operativa

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }\delta >0:f(x)>y,\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\},|x-x_0|<\delta$

Caso3: $x_0\in ℝ$ e limite $-\mathrm{\infty }$

I rispettivi intervalli sono

${ℐ}_{x_0}=]x_0-\delta ,x_0+\delta [$ e ${ℐ}_{-\mathrm{\infty }}=]-\mathrm{\infty },y[,y\in ℝ$

Dunque, la definizione di limite diventa

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)<y,\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\},x\cap I$

e nella versione operativa

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }H\delta >0:f(x)<y,\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\},|x-x_0|<\delta$

Caso4: $x_0=+\mathrm{\infty }$ e limite reale

Procediamo come al solito, con i rispettivi intervalli che sono

${ℐ}_{+\mathrm{\infty }}=]y,+\mathrm{\infty }[,y\in ℝ$ e ${ℐ}_{\lambda }=]\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon [$

La definizione di limite è allora

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }y\in ℝ:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x>y$

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale $y$ tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno $x$ abbastanza grande ed in particolare sempre più grande di $y$ (tendente quindi a $+\mathrm{\infty }$).

In versione compatta abbiamo

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }y\in ℝ:|f(x)-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }x>y$

Caso5: $x_0=-\mathrm{\infty }$ e limite reale

${ℐ}_{-\mathrm{\infty }}=]-\mathrm{\infty },y[,y\in ℝ$ e ${ℐ}_{\lambda }=]\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon [$

La definizione di limite è

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }y\in ℝ:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x<y$

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale $y$ tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno $x$ abbastanza piccole ed in particolare sempre più piccolo di $y$ (tendente quindi a $-\mathrm{\infty }$).

In versione compatta abbiamo

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }y\in ℝ:|f(x)-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }x<y$

Caso6: $x_0,\lambda =+\mathrm{\infty }$

${ℐ}_{x_0}={ℐ}_{+\mathrm{\infty }}=]y,+\mathrm{\infty }[,y\in ℝ$ e ${ℐ}_{\lambda }={ℐ}_{+\mathrm{\infty }}=]z,+\mathrm{\infty }[,z\in ℝ$

e dunque

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }z\in ℝ:f(x)>y,\mathrm{\forall }x>z$

Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite. Come esercizio provate a fare voi gli altri, cioè nel caso di

• $x_0=-\mathrm{\infty },\lambda =+\mathrm{\infty }$
• $x_0=-\mathrm{\infty },\lambda =-\mathrm{\infty }$
• $x_0=+\mathrm{\infty },\lambda =-\mathrm{\infty }$.