Determinanti

Lo scopo di questa lezione è dare le conoscenze basilari sulle proprietà dei determinanti di matrici quadrate e fornire allo studente la capacità di poter lavorare più o meno immediatamente con i sistemi lineari. Una trattazione dei determinanti che utilizza strumenti più avanzati la troveremo più avanti, una volta affrontati gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari.

Definizione di Determinate di una matrice quadrata

Diamo ora una definizione generale di determinante attraverso la formula di Leibniz

Definizione: Si dice determinante di una matrice quadrata $n\times n$ quel numero reale formato dalla seguente formula:

$\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{A}_{i,\sigma (i)}$

Nella formula, $S_n$ è l'insieme di tutte le permutazioni $\sigma$ dell'insieme numerico $\{1,2,\dots ,n\}$ e $\mathrm{sgn}(\sigma )$ denota il segno della permutazione (+1 se $\sigma$ è una permutazione pari, -1 se è permutazione dispari).

Non è tra i sistemi più comodi per trovare un determinante e non è nemmeno l'unica definizione possibile di determinante (ne vedremo altre più avanti quando avremo strumenti più evoluti), e infatti non lo useremo mai per questo scopo. Ci serve però per poter studiare le proprietà di questo particolare numero reale associato ad ogni matrice quadrata.

Determinanti per matrici 2 x 2 e 3 x 3

Sono matrici particolari per il quale è possibile calcolare il determinante mediante meccanismi "meccanici". Vediamone il perché:

$\det \left(\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right)=\sum _{\sigma \in S_2}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^2{A}_{i,\sigma (i)}=a_{1,1}{a}_{2,2}-a_{1,2}{a}_{2,1}$

Invece che calcolarsi le permutazioni ed il loro segno, si può giungere a tale risultato moltiplicando gli elementi della diagonale della matrice e sottrarre il prodotto tra gli elementi della diagonale inversa.

$\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)=\sum _{\sigma \in S_3}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^3{A}_{i,\sigma (i)}=$

$=a_{1,1}{a}_{2,2}{a}_{3,3}+a_{1,3}{a}_{3,2}{a}_{2,1}+a_{1,2}{a}_{2,3}{a}_{3,1}-a_{1,3}{a}_{2,2}{a}_{3,1}-a_{1,1}{a}_{2,3}{a}_{3,2}-a_{1,2}{a}_{2,1}{a}_{3,3}$

Invece che calcolarsi anche qui tutte le 6 permutazione ed il loro segno, è molto comoda la Regola di Sarrus, un artificio che permette di calcolare più velocemente il determinante di una matrice 3 x 3. Si riscrivono le prime due colonne alla destra della matrice:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& |a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& |a_{2,1}& a_{2,2}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& |a_{3,1}& a_{3,2}\end{array}\right)$

quindi si sommano le 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali)

$a_{1,1}{a}_{2,2}{a}_{3,3}+a_{1,2}{a}_{2,3}{a}_{3,1}+a_{1,3}{a}_{2,1}{a}_{3,2}$

e si sottraggono le 3 "diagonali" che partono dal basso (sempre a sinistra) (diagonali secondarie):

$a_{3,1}{a}_{2,2}{a}_{1,3}+a_{3,2}{a}_{2,3}{a}_{1,1}+a_{3,3}{a}_{2,1}{a}_{1,2}$

e si ottiene la formula del determinante scritta sopra.

Il determinante ha anche un significato importante geometrico e funzionale, ma queste cose le vedremo più avanti quando affronteremo gli spazi vettoriale e la geometria. Per ora è bene utilizzare il determinante come uno strumento per il nostro primo scopo, cioè trovare metodi di risoluzione dei sistemi lineari.

Complemento Algebrico

Sia A una matrice n x n. $A_{i,j}$ si dice complemento algebrico di $a_{i,j}$ e

$A_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\cdot \det A_m$

dove $A_m$ è la matrice ottenuta da A eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima.

Ad esempio,

$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right)$.

Il complemento algebrico dell'elemento $a_{1,2}$ è

$(-1{)}^{1+2=3}\cdot \det \left(\begin{array}{cc}--& \mid \\ a_{2,1}& \mid \end{array}\right)=-a_{2,1}$

Teorema di Laplace

Sia $A\in M_{n,n}$ e siano $1\le i\le j\le n$. Allora

$\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{A}_{i,j}$

dove $A_{i,j}$ è il complemento algebrico dell'elemento $a_{i,j}$.

Tale formula è detta sviluppo di Laplace del determinante rispetto alla riga i-esima.

Prima di vederne la dimostrazione, facciamo un esempio che chiarisca il funzionamento.

Esempio

$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 4& 5& 0\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -5& -7\\ 0& 0& -\frac{39}{5}\end{array}\right)$

Quando vogliamo calcolare il determinante di una matrice con il metodo di Laplace, è bene scegliere la riga (o la colonna) con il maggior numero possibile di zeri. Questo infatti ci semplificherà drasticamente i conti. Scegliamo dunque di calcolare il determinante con lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga, ottenendo:

$\det A=\sum _{j=1}^3{a}_{3,j}{A}_{3,j}=0-0+(-1{)}^{3+3}\cdot \frac{39}{5}\cdot \det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -5\end{array}\right)=-\frac{39}{5}\cdot (-5)=39$

Ecco perché è importante riuscire ad annullare quanti più termini possibile della riga che ci interessa considerare per lo sviluppo di Laplace.

In sostanza, questo metodo ci consente di ridurre ogni volta il calcolo del determinante di una matrice n a quello di una matrice n-1 e iterandolo, arrivare a calcolare il determinante di una matrice 2 x 2 o 3 x 3 il cui determinante lo sappiamo calcolare facilmente (anche mediante artifici quali la regola di Sarrus). È comunque ovviamente possibile utilizzare il teorema di Laplace anche per calcolare il determinante di una matrice 2 x 2 o 3 x 3.

Prime proprietà del determinante

Sia A una matrice quadrata n x n. Allora valgono le seguenti proprietà:

1. se A contiene una riga o colonna nulla, cioè contenente solo zeri, allora $\det A=0$
2. $\det A^t=\det A$, con $A^t$ la matrice trasposta di A (le sue righe coincidono con le colonne di A)
3. se B è la matrice ottenuta da A scambiando la riga (risp. colonna) i-esima con la riga (risp. colonna) h-esima, con i diverso da h, allora $\det B=-\det A$
4. se A contiene due righe (o colonne) uguali, allora $\det A=0$
5. se B è una matrice uguale ad A, tranne la riga h-esima proporzionale alla riga h di A per un certo $\lambda$ scalare, allora $\det B=\lambda \det A$
6. se A ha due righe proporzionali, $\det A=0$
7. se si sostituisce alla riga i-esima una riga ottenuta come la somma della riga i-esima con una combinazione lineare delle altre righe di A, il determinante non cambia.
8. $\det AB=\det A\cdot \det B=\det BA$

Esistenza della matrice inversa

Sia A una matrice quadrata. Allora:

1. A è invertibile $\iff \det A\ne 0$
2. Se $\det A\ne 0\Rightarrow {\left(A^{-1}\right)}_{h,k}=(\frac{1}{\det A}\cdot A_{h,k})$

Dimostrazione

1. Se A è invertibile, allora esiste la sua inversa $A^{-1}$ tale che

$A\cdot A^{-1}=\mathrm{i}\mathrm{d}$

Possiamo allora anche calcolarne il determinante, cioè

$\det (A{A}^{-1})=\det \mathrm{i}\mathrm{d}$

e per il teorema di Binet

$\frac{\det A}{\det A}=\det \mathrm{i}\mathrm{d}=1\Rightarrow \det A\ne 0$

2. se $\det A\ne 0$