Elaborazione lineare e nonlineare di un processo stocastico

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Si vuole modificare un processo stocastico $X(t)$ con un sistema $T[\cdot ]$, che è una trasformazione.

Classificazione dei sistemi

• $Y(t)=X^2(t)$ è tempo invariante, non lineare;
• $Y(t)=X(t)-X(t-1)$ è tempo invariante, lineare;

Se il sistema $T[\cdot ]$ è tempo invariante e $X(t)$ è stazionario in senso stretto di ogni ordine, allora anche il processo $Y(t)=T[X(t)]$ è stazionario in senso stretto (SSS) di ogni ordine.

In generale, il fatto che $X(t)$ sia SSS non vuol dire che $Y(t)=T[X(t)]$ sia anch'esso SSS.

Sistemi tempo-invarianti

I sistemi tempo-invarianti possono essere di due tipi:

• sistemi statici, o istantanei;
• sistemi dinamici, o con memoria.

Nel caso di sistemi LTI, si ha

$Y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )X(t-\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}X(\tau )h(t-\tau )d\tau =h(t)*X(t)=X(t)*h(t)$

dove $h(t)\mathrm{\forall }t\in T$ è la risposta all'impulso del sistema $T[\cdot ]$. Si ha, inoltre,

$H(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

che è la risposta in frequenza del sistema. Se $X(t)$ è stazionario in senso lato, si può affermare che $Y(t)$ è ancora stazionario in senso lato; infatti, si ha

$\begin{array}{cc}{\mu }_Y(t)& =E[Y(t)]\\ & =E[h(t)*X(t)]\\ & =E[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )X(t-\tau )d\tau ]\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )E[X(t-\tau )]d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau ){\mu }_{X}d\tau \\ & ={\mu }_X\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )d\tau ={\mu }_{X}H(0)\end{array}$

dove ${\mu }_X(t)={\mu }_X$ perché $X(t)$ è, per ipotesi, stazionario.

$H(0)$ è la risposta all'impulso del sistema alla frequenza $f=0$, cioè è il guadagno di sistema.

Autocorrelazione del second'ordine

Per i sistemi LTI, vale

$\begin{array}{cc}{R}_Y(t,t+\tau )& =E[Y(t)Y(t+\tau )]\\ & =E[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t^{\prime })X(t-t^{\prime })d{t}^{\prime }\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t^{″})X(t+\tau -t^{″})d{t}^{″}]\\ & =R_X(\tau )*h(\tau )*h(-\tau )\end{array}$

Se il processo di partenza $X(t)$ è stazionario in senso lato (WSS) del second'ordine, e se il sistema è lineare tempo-invariante (LTI), allora l'uscita del sistema $Y(t)$ è anch'essa WSS.

In frequenza, si ha

$S_Y(f)=F[R_Y(\tau )]=S_X(f)\cdot H(f)\cdot H^{*}(f)=S_X(f)\cdot {|H(f)|}^2$

I processi $X(t)$ e $Y(t)$ sono anche congiuntamente stazionari, infatti

$\begin{array}{cc}{R}_{XY}(t,t+\tau )& =E[X(t)Y(t+\tau )]\\ & =E[X(t)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t^{\prime }+\tau -t^{\prime })d{t}^{\prime }]\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t^{\prime })E[X(t)X(t+\tau -t^{\prime })]d{t}^{\prime }\\ & =h(\tau )*R_X(\tau )=R_{XY}(\tau )\end{array}$

In termini di densità spettrali, si ha

$S_{XY}(f)=H(f)\cdot S_X(f)$

Covarianza di $Y(t)$

Per quanto riguarda $X(t)$, abbiamo che vale

$C_X(t,t+\tau )=R_X(t,t+\tau )-{\mu }_X(t){\mu }_X(t+\tau )=R_X(\tau )+{\mu }_X^2=C_X(\tau )$

Consideriamo il sistema $h(t)$ che accetta in ingresso il processo $\tilde{X}(t)$ e restituisce il processo $\tilde{Y}(t)$, con

• $\tilde{X}(t)=X(t)-{\mu }_X$
• $\tilde{Y}(t)=Y(t)-{\mu }_Y$

dove $X(t)$ e $Y(t)$ sono stazionari in senso lato (WSS). Si ha

• $R_{\tilde{X}}(t,t+\tau )=E[\tilde{X}(t)\cdot \tilde{X}(t+\tau )]=C_X(t,t+\tau )=R_{\tilde{X}}(\tau )=C_X(\tau )$
• $R_{\tilde{Y}}(\tau )=R_{\tilde{X}}(\tau )*h(\tau )*h(-\tau )=C_X(\tau )*h(\tau )*h(-\tau )$

Abbiamo che

$\tilde{Y}(t)=h(t)*\tilde{X}(t)=h(t)*(X(t)-{\mu }_X)=Y(t)-{\mu }_Y$

da cui si ottiene

$R_{\tilde{Y}}(\tau )=C_Y(\tau )$

ossia

$C_Y(\tau )=C_X\left(\tau \right)*h(\tau )*h(-\tau )$

che è la stessa relazione che esiste per l'autocorrelazione.

Processi bianchi

Nella realtà, i processi bianchi continui non esistono, perché la potenza sarebbe infinita con $N_0\ne 0$.

$P_X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_X(f)df=+\mathrm{\infty }$

Quindi, dobbiamo restringere la trattazione ai processi bianchi in banda, cioè con densità spettrale di potenza costante su una banda limitata $B>0$.

In questo caso, la potenza è

$P_X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_X(f)df=\underset{-B}{\overset{B}{\int }}(\frac{N_0}{2}+{\mu }_X^2\delta (f))df=\frac{N_0}{2}(2B)+{\mu }_X^2=N_{0}B+{\mu }_X^2$

Si ha, quindi,

$N_0=\frac{P_X-{\mu }_X}{B}=\frac{{\sigma }_X}{B}$

Nel caso di processi bianchi in banda limitata, la funzione di autocorrelazione è

$C_X(\tau )=F^{-1}\left[\frac{N_0}{2}rect\left(\frac{f}{2B}\right)\right]=\frac{N_0}{2}2B\cdot sinc(2B\tau )={\sigma }_X^{2}sinc(2B\tau )$

Processi bianchi discreti

Se un processo è bianco e discreto (per esempio, può essere la versione campionata di un processo continuo), si ha sempre potenza finita nel periodo:

$P_X=R_X(0)=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}{S}_X(f)df$

Un processo bianco discreto, essendo la versione campionata di un processo bianco continuo, è sempre implicitamente considerato come in banda: per il teorema di Shannon, infatti, un segnale deve essere campionato ad una frequenza almeno doppia della banda del segnale,

$f_C\ge 2B$

quindi, deve esistere il valore

$B<\mathrm{\infty }$

Processi ciclostazionari

Un classico esempio di processo ciclostazionario è

$X(t)=V\sin (t)$

dove $V$ è una variabile casuale.