Equazioni (scuola media)

Template:RisorsaUn'equazione è un’uguaglianza che contiene una o più incognite (le variabili, solitamente mostrate con una lettera in script, le più comuni sono $x,y,$ e $z$.) e che diventa vera solo per determinati valori di queste incognite. L’obiettivo è trovare il valore della variabile che rende vera l’uguaglianza.

Criteri di equivalenza

Quando risolviamo un'equazione, possiamo compiere delle operazioni su entrambi i membri senza cambiare il significato dell'equazione. Queste operazioni ci permettono di trasformare l'equazione in una forma più semplice per trovare la soluzione. I due criteri di equivalenza che usiamo sono:

I criterio, Regola del trasporto

Quando "trasportiamo" un numero o un termine da un lato dell’equazione all’altro, stiamo fondamentalmente cambiando il segno di quel termine. Per esempio, se in un’equazione il numero 5 è sommato a una variabile, lo spostiamo sull’altro lato cambiandolo in -5. Questo avviene perché, muovendo il termine, stiamo implicitamente sottraendolo da entrambi i lati dell’equazione.

Esempio

Considera l’equazione:

$x+5=12$

Utilizzando la regola del trasporto, possiamo spostare il +5 dal lato sinistro al lato destro dell’equazione. Quando lo trasportiamo, il segno cambia, quindi il +5 diventa −5. L’equazione diventa:

$x=+12-5$

Risolvendo, otteniamo:

$x=7$

II° criterio, divisione e moltiplicazione

Il secondo criterio di equivalenza ci dice che se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero, l'equazione rimane equivalente, cioè la soluzione non cambia.

In un'equazione in cui la variabile è moltiplicata per un numero, è possibile trovare il valore della variabile dividendo entrambi i membri per quel numero. Analogamente, se la variabile è divisa per un numero, è possibile isolare la variabile moltiplicando entrambi i membri per lo stesso numero. In entrambi i casi, l'operazione viene applicata in maniera bilaterale, mantenendo l'equilibrio dell'equazione.

Esempi

Considerare l'equazione:

$3x=15$

Dividendo entrambi i membri per $3$:

$\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}$

Semplificando:

$\frac{3x}{\cancel{3}}=\frac{{\cancel{15}}^5}{{\cancel{3}}_1}=x=3$

Alternativamente, al posto della divisione si può adoperare la moltiplicazione per una frazione ad entrambi i membri, in questo caso l'equazione diventava:

$\frac{3}{1}\times 3x=15\times \frac{3}{1}$

Esercizi per capire le equazioni

Pratici

<quiz display="simple"> { Qual è la soluzione dell'equazione $x+4=9$? | typ="()"} - $x=4$ - $x=9$ + $x=5$ - $x=-5$

{ Qual è la soluzione dell'equazione $2x-3=7$? | typ="()"} - $x=7$ - $x=3$ - $x=10$ + $x=5$

{ Qual è la soluzione dell'equazione $3(x-2)=12$? | typ="()"} + $x=6$ - $x=4$ - $x=3$ - $x=12$

{ Qual è la soluzione dell'equazione $(x+5)/3=4$? | typ="()"} - $x=5$ + $x=7$ - $x=4$ - $x=8$

{ Qual è la soluzione dell'equazione $2x+7=3x-2$? | typ="()"} - $x=7$ - $x=2$ - $x=-9$ + $x=9$

</quiz>

Teorici

<quiz display="simple"> { Qual è la definizione corretta di equazione? | typ="()"} - Una disuguaglianza tra due numeri. + Un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che contiene una o più incognite. - Un'operazione che coinvolge solo numeri. - Un'espressione composta esclusivamente da variabili.

{ Cos'è un'equazione equivalente? | typ="()"} - Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso numero di termini. - Due equazioni sono equivalenti se contengono la stessa variabile. - Due equazioni sono equivalenti se sono scritte nello stesso ordine. + Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

{ Qual è il criterio di addizione/sottrazione per le equazioni? | typ="()"} - Aggiungere un numero al primo membro senza cambiare il secondo. - Sottrarre un numero solo dal membro che contiene la variabile. + Aggiungere o sottrarre lo stesso numero da entrambi i membri mantiene l'equilibrio dell'equazione. - Moltiplicare i due membri per un numero costante mantiene l'equilibrio.

{ Cos'è la regola del trasporto in un'equazione? | typ="()"} - Invertire l'ordine dei termini nell'equazione. - Dividere entrambi i membri per un numero negativo. - Sostituire la variabile con il suo valore numerico. + Spostare un termine da un lato all'altro dell'equazione cambiandone il segno.

{ Quale operazione non è ammessa in un'equazione se si vuole mantenere l'equivalenza? | typ="()"} - Moltiplicare entrambi i membri per lo stesso numero diverso da zero. - Aggiungere lo stesso numero a entrambi i membri. - Sottrarre lo stesso numero da entrambi i membri. + Dividere per zero.

</quiz>