Equazioni differenziali lineari

Introduzione

Lo studio delle equazioni differenziali si trova alla base di molte discipline scientifiche, quali fisica, chimica e ovviamente matematica. Molti problemi fisici, chimici, meccanici o ingegneristici infatti sono spesso formulati in termini di problemi differenziali. In questa lezione, daremo le definizioni, le nozioni base necessarie per una chiara e corretta trattazione. Attenzione, prima di procedere con la lettura, è necessario avere bene in mente i seguenti concetti:

• Funzione
• Derivata
• Integrale

i quali intervengono in modo massiccio nell' esposizione.

Lo scopo è quello di dare allo studente gli strumenti necessari ad affrontare e risolvere, in modo analitico, le equazioni differenziali, porgendo maggiore attenzione a quelle lineari.

Definizioni e notazioni

Detto questo iniziamo con le notazioni che verranno utilizzate in seguito: Template:Matematica voce

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In modo informale possiamo affermare che le equazioni differenziali non sono altro che delle equazioni i cui termini dipendono da una funzione incognita e dalle sue derivate. È implicito che la funzione incognita dev'essere derivabile un numero "sufficiente" di volte. Diamo ora una definizione più formale, matematicamente più elegante

Esempi

Diamo alcuni esempi così da avere bene in mente la nomenclatura appena definita.

Esempio 1

Prendiamo in esame la seguente:

$y^{‴}+x^2{y}^{″}+y=0$

e poniamoci le seguenti domande:

• È lineare?: Sì
• Qual è il suo ordine?: Il suo ordine è 3 in quanto esso è il massimo ordine di derivazione che appare.
• È a coefficienti costanti?: No, non è a coefficienti costanti perché il coefficiente della derivata seconda non è costante!
• È omogenea?: Si, in questo caso la funzione $g(x)=0$.

Abbiamo quindi di fronte un'Equazione differenziale lineare del terzo ordine a coefficienti NON costanti, omogenea

Esempio 2

Consideriamo ora:

$y^{″}+y^2=2+x^4$

• È lineare?:No, osservate infatti che non tutti i termini in $y$ sono lineari ($y^2$)
• Qual è il suo ordine?: Il suo ordine è 2 in quanto esso è il massimo ordine di derivazione che appare.
• È a coefficienti costanti?: Si, è a coefficienti costanti!
• È omogenea?: No, in questo caso la funzione $g(x)=2+x^4$.

pertanto: $y^{″}+y^2=2+x^4$ è un' equazione differenziale di ordine 2 NON lineare a coefficienti costanti, NON omogenea

Esempio 3

Sia data la seguente equazione differenziale:

$y^{″}+2y^{\prime }+y=0$

• È lineare?:Sì.
• Qual è il suo ordine?: Il suo ordine è 2 in quanto esso è il massimo ordine di derivazione che appare.
• È a coefficienti costanti?: Si, è a coefficienti costanti!
• È omogenea?:Sì, infatti $g(x)=0$.

quindi: $y^{″}+2y^{\prime }+y=0$ è un'equazione differenziale di ordine 2 lineare a coefficienti costanti, omogenea

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Funzione integrale o soluzione

Abbiamo dato le nozioni base, senza però esplicitare cosa significa risolvere un'equazione differenziale. In pratica andiamo alla ricerca di una funzione che soddisfi la relazione data dalla equazione, tale funzione è detta funzione integrale o, come abbiamo già espresso in precedenza, funzione soluzione. In linguaggio matematico questo si traduce come:

Come facciamo a capire che una funzione è soluzione di una data equazione differenziale? Vediamo un po' di facili esempi:

• Esempio 1

Data l'equazione differenziale

$y^{″}+xy=(x-1)\sin x$

(che tipo di equazione differenziale è?)

mostrare che la funzione soluzione è $f(x)=\sin x$

• Esempio 2 (fondamentale)

Data l'equazione differenziale:

$y^{‴}+y^{″}=2$

• Dire che tipo di equazione differenziale è ed inoltre mostrare che

• $f_1(x)=x^2+1$ è una funzione soluzione.
• $f_2(x)=x^2+x+1$ è una funzione soluzione.
• $f_3(x)=x^2+Ax+B$, con $A,B\in ℝ$ costanti, è una funzione soluzione.

Trarre le dovute conclusioni.

Template:Cassetto.

Proprietà delle equazioni differenziali lineari

Un altro concetto fondamentale riguarda l'integrale generale di una data equazione differenziale. È bene iniziare questo nuovo argomento introducendo nuove notazioni.

Poniamo

$L(y):=y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y$

L(y) è chiamato operatore differenziale di ordine n ed agisce su funzioni. Esso associa ad una funzione $f$ derivabile n volte l'espressione:

$L(f)=f^{(n)}+a_{n-1}(x)f^{(n-1)}+\dots +a_1(x)f^{\prime }+a_0(x)f.$

Inoltre L è lineare, ciò significa che per ogni coppia di funzioni derivabili n volte y(x) e z(x), e per ogni costante reale α si ha:

1. $L(y+z)=L(y)+L(z)$ (additività)
2. $L(\alpha y)=\alpha L(y)$ (omogeneità)

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Esercizio: Mostrare che l'operatore

$L(y):=y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y$

è lineare.

Template:Cassetto

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Altra definizione necessaria è la seguente:

Definizione: Data l'equazione differenziale lineare non omogenea

$L(y):=y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$

indicheremo con $y_p$ una funzione soddisfacente l'equazione e verrà chiamata integrale particolare

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La linearità di tali equazioni differenziali comporta notevoli conseguenze dal punto di vista sia teorico che applicativo. Verranno enunciati e dimostrati teoremi in cui si applica questa proprietà. Il primo risultato che analizzeremo è il seguente:

Teorema

Dimostrazione: Per ipotesi abbiamo che le funzioni $\tilde{y}$ e $\tilde{z}$ sono soluzioni dell' equazione differenziale, pertanto si ha che:

1. $L(\tilde{y})=0$
2. $L(\tilde{z})=0$

Sia $h:=\alpha \tilde{y}+\beta \tilde{z}$, dove $\alpha ,\beta \in ℝ$ sono costanti arbitrarie. È chiaro che h è la combinazione lineare delle funzioni $\tilde{y},\tilde{z}$. Applichiamo ad essa l'operatore L:

• $L(h)=L(\alpha \tilde{y}+\beta \tilde{z})=$

sfruttando la linearità dell'operatore L:

• $=\alpha L(\tilde{y})+\beta L(\tilde{z})=0$

Al risultato si arriva sfruttando 1. e 2.

$◻$

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Teorema sull'integrale generale di un'equazione differenziale lineare

Altra caratteristica che segue dalla linearità è la seguente:

Dimostrazione: Per dimostrare il teorema, considereremo due funzioni, $y_p$ e $y$, che soddisfano l'equazione differenziale non omogenea, cioè sono tali che:

1. $L(y_p)=f$
2. $L(y)=f$

Con esse, definiamo una nuova funzione: y${}_0$=y${}_p-$y, applichiamo ad essa l'operatore lineare L:

$L(y_0)=L(y_p-y)=$ (per la linearità di L) $=L(y_p)-L(y)=$(per 1. e 2.)$=f-f=0$

Con questi passaggi, abbiamo messo in evidenza il fatto che due soluzioni particolari dell'equazione non omogenea differiscono di una funzione che è soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata. Pertanto possiamo asserire che l'integrale generale di una equazione differenziale lineare è:

$y(x)=y_p(x)+y_0(x)$

$◻$

Test della lezione

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Ti consentirà di capire quante informazioni hai recepito dopo la lettura della lezione. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.

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La trattazione delle equazioni differenziali è costellata da difficoltà via via crescenti, inoltre è molto vasta e di conseguenza è necessario studiare i casi uno per uno. La prossima lezione riguarderà le Equazioni differenziali lineari del primo ordine, per le quali verranno date e spiegate le formule risolutive al fine di ottenere la soluzione analitica.