Esercitazione: le caratteristiche della sollecitazione

Esercizio 1

Si determinino le caratteristiche della sollecitazione della struttura illustrata in figura:

Siano:

$F=5KN$

$l=2m$

$\alpha =53^{\circ }$

Determinazione delle reazioni vincolari

Per determinare le reazioni vincolari sia interne che esterne agenti sulla struttura si sostituiscono i vincoli con le rispettive reazioni ipotizzando in maniera del tutto arbitraria dei segni alle reazioni stesse. Per facilitare i calcoli, inoltre, si sostituisce la forza esterna agente con le sue due componenti orizzontale e verticale, le quali avranno intensità:

$F_H=F\cos \alpha =3KN$
$F_V=F\sin \alpha =4KN$

File:Esercizio caratteristiche della sollecitazione - Sostituzioni.svg

Una volta fatte queste sostituzioni, è necessario procedere all'analisi statica della struttura. Prima di tutto, conviene fare delle valutazioni sull'equilibrio dei nodi della struttura, i quali devono naturalmente essere equilibrati in quanto anch'essi parte della struttura stessa.

Analizziamo il nodo A:

File:Esercizio CDS Nodo A.svg

Si fa notare che in corrispondenza del nodo le forze sono opposte a quelle che si dovranno considerare quando si andrà ad analizzare l'equilibrio delle aste. Per studiare l'equilibrio dei nodi, infatti, si deve immaginare di tagliare la struttura nell'intorno del nodo stesso. Le forze che il nodo e le aste in esso concorrenti si scambiano si presentano uguali ed opposte per il principio di azione e reazione. Osservando la figura, inoltre, si capisce che nel caso in cui le aste concorrenti siano due e non ci siano forze applicate in corrispondenza del nodo le azioni agenti su un'asta sono uguali e opposte a quelle agenti sull'altra.

Nel nostro caso particolare nel nodo è presente una cerniera interna, per cui le due porzioni di struttura non possono scambiarsi alcun momento flettente; è presente inoltre un vincolo esterno, che viene tenuto in conto per mezzo della sua reazione vincolare ancora incognita.

Il nodo, al contrario dell'asta, ha solo due gradi di libertà nel piano, per cui ci sono disponibili solo le due equazioni che forniscono le condizioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale:

$\{\begin{array}{c}{H}_A+H_{AB}-H_{AD}=0\\ V_{AD}-V_{AB}=0\to V_{AD}=V_{AB}\end{array}$

Ugualmente per il nodo B:

File:Esercizio CDS Nodo B.svg

$\{\begin{array}{c}{H}_{BA}-H_{BG}=0\to H_{BA}=H_{BG}\\ V_{BA}+V_B-V_{BG}=0\end{array}$

Per il nodo C non sono necessarie particolari specificazione: visto che non esistono forze applicate si ha semplicemente:

$\{\begin{array}{c}{H}_{CE}=H_{CH}\\ V_{CE}=V_{CH}\end{array}$

Valutiamo ora l'equilibrio dell'intera struttura.

File:Esercizio CDS equilibrio.svg

Eliminando in partenza i termini che è già noto essere uguali e opposti, si ha:

$\{\begin{array}{c}{F}_V-V_B=0\to V_B=F_V=4KN\\ H_D+H_A+F_H=0\\ V_{B}l/2+H_{D}l+H_{A}2l=0\end{array}$

Da cui si deduce:

$\{\begin{array}{c}{V}_B=4KN\\ H_D=-4KN\\ H_A=1KN\end{array}$

Consideriamo poi il tratto AEC:

File:Esercizio CDS tratto AEC.svg

$\{\begin{array}{c}{H}_{AD}+H_D-H_{CE}=0\\ V_{AD}+V_{CE}=0\to V_{AD}=-V_{CE}\\ H_{D}l-H_{CE}2l-V_{CE}l=0\end{array}$

Per il tratto AB, poi, si ottiene:

File:Esercizio CDS tratto AB.svg

$\{\begin{array}{c}{H}_{BA}+H_{AB}=0\to H_{BA}=-H_{AB}\\ V_{BA}+V_{AB}=0\to V_{BA}=-V_{AB}\\ H_{BA}\frac{3l}{2}-V_{BA}2l=0\to V_{BA}=\frac{3}{4}{H}_{BA}\end{array}$

Considerare anche il tratto CGB è inutile dal momento che le relazioni che si otterrebbero sarebbero combinazioni lineari di quelle già ottenute. Conviene ora riportare tutte le equazioni finora trovate, in modo da facilitare la risoluzione:

$\{\begin{array}{c}{H}_A+H_{AB}-H_{AD}=0\\ V_{AD}=V_{AB}\\ H_{BA}=H_{BG}\\ V_{BA}+V_B-V_{BG}=0\\ H_{CE}=H_{CH}\\ V_{CE}=V_{CH}\\ V_B=4KN\\ H_D=-4KN\\ H_A=1KN\\ H_{AD}+H_D-H_{CE}=0\\ V_{AD}=-V_{CE}\\ H_{D}l-H_{CE}2l-V_{CE}l=0\\ H_{BA}=-H_{AB}\\ V_{BA}=-V_{AB}\\ V_{BA}=\frac{3}{4}{H}_{BA}\end{array}$