Esercitazione 1 (analisi matematica)

Operazioni elementari con i numeri complessi

Esercizio 1 Dati i numeri $z_1,z_2\in ℂ$: con $z_1=1+i,z_2=5+3i$ valutare:

(1) $z_1+z_2$

(2) $z_1{z}_2$

(3) $z_1\overline{z_2}$

Soluzione

(1) Ricordiamo ora la regola che ci permette di valutare la somma tra due numeri complessi:

$z_1=\mathrm{\Re }(z_1)+i\mathrm{\Im }(z_1)$ e $z_2=\mathrm{\Re }(z_2)+i\mathrm{\Im }(z_2)$ allora:

$z_1+z_2=\mathrm{\Re }(z_1)+\mathrm{\Re }(z_2)+i(\mathrm{\Im }(z_1)+\mathrm{\Im }(z_2))$

Nel nostro facile esempio abbiamo che:

$\mathrm{\Re }(z_1)=1,\mathrm{\Im }(z_1)=1$ mentre $\mathrm{\Re }(z_2)=5,\mathrm{\Im }(z_2)=3$ dunque:

$z_1+z_2=\mathrm{\Re }(z_1)+\mathrm{\Re }(z_2)+i(\mathrm{\Im }(z_1)+\mathrm{\Im }(z_2))=1+5+i(1+3)=6+4i$

(2) Ricordiamo che per valutare il prodotto di due numeri complessi si procede come segue.

Poniamo per semplicità notazionale:

$x_1=\mathrm{\Re }(z_1)$ e $y_1=\mathrm{\Im }(z_1)$ mentre $x_2=\mathrm{\Re }(z_2)$ e $y_2=\mathrm{\Im }(z_2)$.

Quindi:

$z_1{z}_2=(x_1+y_{1}i)(x_2+y_{2}i)=x_1(x_2+y_{2}i)+y_{1}i(x_2+y_{2}i)=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$.

Ora $i^2=-1$ quindi l'espressione precedente diventa:

$x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2=x_1{x}_2-y_1{y}_2+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$

Passiamo ora al calcolo effettivo. Nel nostro caso specifico abbiamo che

$x_1=\mathrm{\Re }(z_1)=1,y_1=\mathrm{\Im }(z_1)$ mentre $x_2=\mathrm{\Re }(z_2)=5,y_2=\mathrm{\Im }(z_2)=3$ di conseguenza:

$z_1{z}_2=(1+i)(5+3i)=(5+3i)+i(5+3i)=5+3i+5i-3=2+8i$

(3) In questo caso nel prodotto interviene il coniugato di $z_2$, è quindi necessario valutarlo. Dato un numero $z=x+yi\in ℂ$, si definisce numero complesso coniugato di $z$, denotato con $\overline{z}$:

$\overline{z}:=x-yi$

In pratica abbiamo semplicemente cambiato il segno alla parte immaginaria di $z$. Utilizziamo questa definizione per valutare il coniugato di $z_2$:

$\overline{z_2}=5-3i$:

pertanto:

$z_1\overline{z_2}=(1+i)(5-3i)=(5-3i)+i(5-3i)=5-3i+5i+3=8+2i$

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Esercizio 2

Determinare per quali valori reali $x,y$ si ha che $4x+3xi+9y+4yi=13+7i$

Soluzione È necessario esprimere diversamente il primo membro in modo da evidenziare la parte reale e la parte immaginaria:

$4x+3xi+9y+4yi=(4x+9y)+(3x+4y)i=13+7i$.

Osserviamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia la stessa parte reale che quella immaginaria. Ragionando in questo modo otteniamo un sistema di due equazioni e in due incognite:

$\{\begin{array}{c}4x+9y=13\\ 3x+4y=7\end{array}$

Possiamo risolverlo per sostituzione, dalla prima equazione $x=\frac{13-9y}{4}$ sotituiamo il valore ottenuto nella seconda equazione ottenendo:

$3\frac{13-9y}{4}+4y=7\Rightarrow \frac{39-27y+16y}{4}=\frac{28}{4}$

facendo i conti otteniamo che:

$-11y=-11\Rightarrow y=1$

adesso facciamo una sostituzione all'indietro:

$x=\frac{13-9y}{4}$,

ma $y=1$ dunque $x=\frac{13-9}{4}=1$

Pertanto i valori che soddisfano l'equazione sono:

$x=1,y=1$