Esercitazione 4 (analisi matematica)

Template:Navigazione lezione Template:Risorsa In questa esercitazione vedremo come risolvere alcuni limiti a seconda del caso. I limiti saranno presentati nella forma

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

con $f:I\subseteq ℝ\to ℝ$, $I=[a,b]$ e $x_0,a,b\in ℝ$.

Limiti di funzione continua in $x_0$

È il caso di limiti banali di funzioni che sono continue in un punto e non presentano una forma indeterminata. In questo caso basta calcolare la funzione direttamente per il valore di $x_0$.

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{8x^2-12x+4}{13x^3-x^5+12}$
  $\left[\frac{1}{3}\right]$

• $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{15}{2x-e^{2-x}}$
  $\left[5\right]$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7\ln \left[-\cos (\pi -\frac{1}{e^x})+1\right]}{15-12x^{-1}}$
  $\left[\frac{7\ln \left[2\right]}{15}\right]$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^4-sin(x)}{e^x-1}$
  $[-1]$

Limiti destri e sinistri con stime asintotiche

Si trattano qui i limiti di funzioni che richiedono, per essere risolti, delle stime asintotiche e la conoscenza dell'algebra degli infinitesimi, ossia degli ordini di infinito e infinitesimo delle funzioni che compongono la $f(x)$ di cui si vuole conoscere il limite. Inoltre i seguenti esercizi comprendono lo studio di limiti destri $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ e sinistri $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$.

• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\ln (x^3-1)}{4-5x}$
  $[+\mathrm{\infty }]$

• $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{\cos (x)}{\frac{1}{x-\frac{\pi }{2}}}$
  $\left[0^{-}\right]$