Esercizi sul metodo di Newton

Esercizi sul metodo di Newton

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Esercizio 1

• Scrivere una funzione Octave/MATLAB per il metodo di Newton. La funzione deve prendere in ingresso la funzione di cui si vuole stimare lo zero e la sua derivata, l'initial guess $x_0$, la tolleranza $ϵ$ ed il numero massimo di iterazioni.

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Esercizio 2

• Si consideri una funzione $f(x)$ tale che $f(x)>0$ e $f^{″}(x)>0$ su tutto l'intervallo reale $ℝ$ . Dimostrare che se $z$ è l'unico zero della funzione $f$ allora il metodo di Newton converge per ogni scelta di $x_0$.

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Esercizio 3

Si consideri di calcolare la radice quadrata (positiva) di $a>0$. Assumendo $x_0>0$ e $x_0\ne \sqrt{a}$ si mostri che

1. $x_{k+1}=\frac{1}{2}(x_k+\frac{a}{x_k})$;
2. $x_{k+1}^2-a={\left(\frac{x_k-a}{2x_k}\right)}^2$, per $k\ge 0$ e quindi $x_k>\sqrt{a}$ per ogni $k>0$ ;
3. la successione $x_k$ è strettamente decrescente;
4. $e_{k+1}=\sqrt{a}-x_{k+1}=-\frac{e_k^2}{2x_k}$

   e che

   $\text{Rel}(x_{k+1})=\frac{\sqrt{a}-x_{k+1}}{\sqrt{a}}=-\frac{\sqrt{a}}{2x_k}{[\text{Rel}(x_{k+1})]}^2$.

${\displaystyle }$