Esercizi sul metodo di bisezione

Esercizio 1

• Scrivere una funzione Octave/MATLAB per il metodo di bisezione. La funzione deve prendere in ingresso la funzione di cui si vuole stimare lo zero, gli estremi della funzione $a$ e $b$, la tolleranza $ϵ$ ed il numero massimo di iterazioni.
• Si consideri la funzione $f(x)=\cos x$ in $[0,3\pi ]$.
  1. Quanti zeri ci sono in quest'intervallo?
  2. Teoricamente, dopo quante iterazioni ci si aspetta di trovare una soluzione?
  3. Posto $ϵ=10^{-10}$, quante iterazioni sono necessarie? Il risultato numerico rispetta quello teorico?
  4. Posto $ϵ=10^{-20}$, quante iterazioni sono necessarie? Il risultato numerico rispetta quello teorico?

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Esercizio 2

• Si consideri la funzione $f(x)=e^x-x^2$ in $[-2,0]$.
  1. Si dimostri che esiste un unico zero $\alpha$ tale che $f(\alpha )=0$.
  2. Posta la tolleranza $ϵ=10^{-8}$, si calcoli quante iterazioni sono richieste?
  3. Si consideri la restrizione dell'intervallo a $[-2,-1]$. In questo caso quante iterazioni sono necessarie?
  4. Tramite la funzione di Octave/MATLAB dell'esercizio 1 si calcoli lo zero della funzione.
  5. Si calcoli la soluzione con precisione $ϵ=10^{-15}$ e la si consideri come soluzione esatta. Considerando quindi $ϵ=10^{-8}$, fare un grafico in scala logaritmica che rappresenti l'andamento dell'errore medio e dell'errore effettivo. Commentare.

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Esercizio 3

Si dimostri che per la successione definita dal metodo di bisezione con $k\ge 0$ si ha

$|\alpha -x_k|\le \frac{b-a}{2^{k+1}}$.

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