Esercizio del mazzo di carte con 3 carte estratte

Per rispondere alla domande, conviene prendere:

$\mathrm{\Omega }=\{Cuori,Picche,Fiori,Quadri\}$

Si ha

$P(Cuori)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$

Probabilità che due carte siano cuori

Si definisce un nuovo spazio di probabilità $(\hat{\mathrm{\Omega }},\hat{F},\hat{P})$ con

$F=\{\varnothing ,A,\overline{A},\hat{\mathrm{\Omega }}\}$

dove

• $\hat{\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }$
• $\hat{F}=F\otimes F\otimes F$

Nel caso $n=3$ e $k=2$, cioè si hanno esattamente due cuori su tre carte pescate, $C$ è l'evento:

$C=\{c_1,c_2,c_3\in \hat{F}|C_i=A\mathrm{\forall }i\in I,|I|=2\}$

che ha probabilità

$P(C)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})\cdot P^2(A)P(\overline{A})=3{\left(\frac{1}{4}\right)}^2\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$

Probabilità che almeno una carta sia cuori

La probabilità che almeno una carta sia cuori è l'evento $D$:

$D=\{c_1,c_2,c_3\in \hat{F}|C_i=A\mathrm{\forall }i\in I,|I|\ge 1\}$

La probabilità di questo evento è:

$P(D)=\sum _{i=1}^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})P^k(A)P^{n-k}(\overline{A})$

Si ha

$P(\overline{D})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})P^n(\overline{A})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}){\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{64}$

da cui si ottiene

$P(D)=A-P(\overline{D})=\frac{37}{64}$